Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
Во-первых, условие необходимо. Ибо если ср (я) i, то мы можем найти такое я0, что
/„І8<9(„)</ + у6
для я^Яц, н, таким образом,
I ?(««) —9 (я,) |< 8,
если H1^n0 и я2^=я0.
Во-вторых, условие достаточно. Для доказательства достаточно только показать, что нз этого условия следует X = Л. Но если X <Г^ А, то существует, как бы мало ни было 8, бесконечно много значений я, для которых ер (я) <Г^ X -\- Ь, и бесконечно много значений я, для которых ср(я)^>А — 8; поэтому мы можем найти такие значения H1 и я2, каждое больше любого заданного числа я0, что Ф(я2)-?(я1)>Л-Х-28,
что больше-^-(А — X), если 8 достаточно мало. Это же, очевидно,
противоречит неравенству (1). Следовательно, X = A, и ер (я) стремится к пределу.
84. Неограниченные функции. До сих пор мы рассматривали только ограниченные функции; но Общий принцип сходимости
158
Глава четвертая
остается в силе и для неограниченных функций, так что слово „ограниченная" может быть опущено в формулировке теоремы 1.
Во-первых, если 9 (я) стремится к пределу /, то она заведомо ограничена, так как для всех, кроме конечного числа, значений я ее значения заключены между / — 8 и /-(-8.
Во-вторых, если условие теоремы 1 выполняется, то мы имеем:
I ?(«») — ?("i)|<8. коль скоро я.2^:я0 и U1^n0. Зафиксируем какое-либо значение я1( большее я0. Тогда
?(я1)-8<9(я,)<9(я1) + 8
для я2^я0. Следовательно, 9 (я) ограничена, и применимо доказательство достаточности условия из предыдущего пункта.
Важность общего принципа сходимости вряд ли может быть переоценена. Как и теоремы п. 69, он дает нам возможность определить, стремится ли функция ф(я) к пределу или нет, не делая никаких предположений относительно возможного значения этого предела; вместе с тем, он не содержит тех ограничительных предположений, которые являются неотъемлемой частью таких специальных теорем, как теоремы п. 69. Но в элементарных рассмотрениях, как правило, можно обойтись без него и ограничиться только этими специальными • теоремами. Читатель увидит, что, несмотря на важность этого принципа, мы фактически не применяем его в дальнейших главах этой книги1). Заметим только, что если положить
9 (я) = Sn = U14- щ +... + ип,
то мы тотчас же получим необходимое и достаточное условие сходимости бесконечного ряда, а именно*):
ТЕОРЕМА 1. Необходимым и достаточным условием сходимости ряда U1 -f- m3 -f- ... является существование такого числа я0, что для любого заданного положительного числа Ь неравенство
I ия1+1 + «я1+2 + •¦•TSK8
выполняется для всех значений п1 и я2 таких, что
85. Пределы комплексных функций и рядов с комплексными членами. В настоящей главе мы до сих пор рассматривали только действительные функции от я и ряды с действительными членами. Однако не представляет труда распространить наши понятия и
1) Несколько доказательств из гл. VIII упрощаются в результате применения общего принципа.
*) Так называемое необходимое и достаточное условие Коши. (Прим, пер ев.)
Пределы функций от целочисленного переменного
159
определения и на тот случай, когда значения функции или члены ряда — комплексные числа.
Допустим, что со (я) комплексна и равна
P (я) + w (я),
где р (я), о (я)—действительные функции от я. Тогда если р(я) и а (я) стремятся, соответственно, к пределам г и s при п —> со, то мы будем говорить, что ср(я) стремится к пределу I— Г-\-is, и писать
Птср(я) = /.
Аналогично, если un — комплексные числа, равные vn-\-iwn, то мы будем говорить, что ряд
иі+иа + И, + . ..
сходится и имеет сумму I = г+ is, если ряды
^1 + ^2 + ^3 + -•-. wi +вуа+^а + - ••
сходятся и имеют, соответственно, суммы г и s.
Утверждение, что U1 +«а + «з + • • • сходится и имеет сумму /, эквивалентно, конечно, утверждению, что сумма
= »1 + Ui + • • • + Un = iVl + «» + • • • + Vn) +
-{¦1(w1 +о;.2 + ... + яуя)
СХОДИТСЯ К пределу / при Я—VOO.
В случае действительных функций и рядов мы определили также расходящиеся и ограниченно и неограниченно колеблющиеся функции и ряды. Но при исследовании комплексных функций и рядов, где мы должны одновременно рассматривать поведение р (я) и а (я), число случаев настолько велико, что не имеет смысла их перечислять. Когда нам понадобятся более подробные рассмотрения этого типа, мы будем просто в отдельности изучать действительную и мнимую части.
86. Читатель без труда докажет приведенные ниже теоремы, которые являются очевидными обобщениями теорем, уже доказанных нами, в случае действительных функций и рядов.
(1) Если Нтср(я) = /, то Hm ср(я + /?) = / для любого фиксированного значения р.
(2) Если ряд и,+и2 + ... сходится и имеет сумму /, то а + о+ с +... + k + U1 + и% + ... также сходится и имеет сумму
а + о + с + ... +А + / и мр+1+ир+2-)----также сходится и имеет
сумму /— U1 — и2 — ... — ир.
(3) Если Нтср(я) = / и Hm ф (я) = т, то
1 im {со (я) + ф (я)} == / + т.
160 глава четвертая
<р (я) <р (я) = рр' — во' + V (po' + р'о), рр' _ S3' rr' — ss', ро' + р'и — rs' + r's, 9 (я) i> (я) — rr' — ss' + і (rs' + r's),
