Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
Как уже было разъяснено в начале предыдущей главы, существует весьма тесная связь между функциями от х и функциями от п. Каждая функция от п может рассматриваться как выбор части значений некоторой функции от х. В предыдущей главе мы рассмотрели особенности поведения функции ср(л) при п стремящемся к оо. Теперь мы займемся той же задачей для функций ср (х). Определения и теоремы, к которым мы здесь приходим, по существу являются повторениями соответствующих определений и теорем предыдущей главы. Так, соответственно определению I п. 58, мы имеем:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Функция ср(х) стремится к пределу I при х стремящемся к со, если для любого сколь угодно малого заданного положительного числа 3 можно найти такое число х9 (8), что для всех значений х, больших или равных х9 (8), ср (х) будет
1J Так, УX означает в этой главе однозначную функцию -{-Ух, а не Двузначную функцию, значения которой суть -f j/лг и — у"х (как в п.26).
172
Глава пятая
отличаться от I меньше чем на Ь, т. е,
|ср(х)-/|<8
при X^x0 (8).
Если это имеет место, то мы пишем
Hm ср(д;) = /,
x -* oo
или, когда это не может вызвать недоразумений, просто Hm со (х) = 1 или ер(л:)->/. Аналогично мы имеем;
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Функция ср (х) стремится к со вместе с х, если для любого сколь угодно большого заданного числа Д мы можем найти такое число X0 (А), что
Ф(*)>Д
при XSsX0(A). Тогда мы пишем
ер (х) —*¦ сю.
Аналогично определяется со (л;)—»- — со1). Наконец, мы имеем:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Если не выполнены условия ни одного из предыдущих определений, то говорят, Что ср (х) колеблется при х стремящемся к со. Если при этом | со (х) | остается меньше некоторой постоянной К при всех х^хй^, то говорят, что ср(х) ограниченно колеблется, в противном случае — что со (х) неограниченно колеблется.
Читатель помнит, что в предыдущей главе мы очень подробно рассматривали различные менее формальные выражения утверждений, представленных формулами ер (я) i, со (я) —*- оо. Подобные же способы выражения применяются, конечно, и в рассматриваемом нами сейчас случае. Так, мы можем сказать, что cp(x) мала или почти равна /, или велика, когда л: велико, употребляя слова „мала", „почти", „велика" в смысле, аналогичном тому, в котором они употреблялись в гл. IV.
Примеры XXXIV. 1. Рассмотреть поведение следующих функций при X —»- со:
і 1 + 1 х\ х*. [х], х-[х], [х\ + }Г7=Щ.
1J Иногда будет удобно писать +со, х—»- + со, <р(х)—v + co вместо со, X —*¦ СО, <р (х) —»- со.
2) В соответствующих определениях п. 62 мы требовали, чтобы |<р(я)|>А для всех значений п, а не только для я Но в том случае эти два
условия были эквивалентны, так как если |ср (л)1 < К для «5зл0. то |ср(я)| г=С AT' для всех п, где К' обозначает наибольшее из чисел i<p(l), |?(2)|,|<р(я0—1)1 и К. Здесь же дело обстоит сложнее, так как существует бесконечно мноп} Значений х, меньших хр
Пределы функций от Непрерывного переменного
173
Первые четыре функции в точности соответствуют функциям от я, подробно разобранным в гл. IV. Графики последних трех функций были построены а гл. II (примеры XVI. 1, 2, 4), и читатель сразу увидит, что [л"]-*-оо, х— [х] ограниченно колеблется и [х] -f- ~\/~х — [х] —> оо.
Сделаем здесь одно простое замечание. Функция ср(х) = х—¦ [х] колеблется между 0 и 1, как видно из ее графика. Она равна нулю при целочисленном х, так что функция ср (я), соответствующая ей, всегда равна нулю и, следовательно, стремится к нулю. То же имеет место и для функции
ср (AT) = SJn XX, где ср (я) = sin/ГС = 0.
Очевидно, что ср(х)—»-/ или ср(х)—»-оо, или ср (дг) —> — оо влечет за собой соответствующее свойство для ср (я), но обратное предложение часто неверно.
2. Рассмотреть таким же образом функции
-, xsmx-, (лг sin хіт)2, tgXK, -&—, a cos2 Xn-\-b sin2 xr.
X X
и проиллюстрировать результаты рассмотрений на графиках этих функций.
3. Дать геометрическое разъясиеиие определения 1, аналогичное данному в гл. IV, п. 59.
4. Если {х)—*-1 и / отлично от нуля, то ср (х) cosи ср (х) sinхт: ограниченно колеблются. Если ср(х)—»-оо или ср(лг)—»-— оо, то оии колеблются неограниченно. График каждой из этих функций представляет собой волнистую кривую, колеблющуюся между кривыми у = ср (х) и у = — ср(лг).
5. Рассмотреть поведение при х—»-оо функции
у=/ (х) cos2 XT. -\-F(x) sin2 хт,,
где f(x) и F(x) — две какие-либо простые функции (как, например, х их2).
[Графиком у является кривая, колеблющаяся между кривыми y=f(x), у = F(X).)
91. Пределы при X стремящемся к ¦—-со. Читатель без труда сформулирует сам определения смысла утверждений „х стремится к —со", или „л;—»- — оо", и
Hm ф(х) = /, ер (л;)->-оо, ср (л:) —*. — оо.
x —* —- OO
Действительно, если X = —у и ер (х)= ер (—у) = ^{у)у то у стремится к оо, когда х-».—оо и вопрос о поведении ср (л:) при х стремящемся к ¦—-оо, равносилен вопросу о поведении $(у) при у стремящемся к оо.
92. Теоремы, соответствующие теоремам пп. 63—69, гл. IV. Теоремы, относящиеся к суммам, произведениям и отношениям функций, которые были доказаны в гл. IV, остаются в силе (с очевидными изменениями отдельных слов, которые читатель легко сформулирует сам) для функций от непрерывного переменного х. При этом остаются в силе не только формулировки этих теорем, но, в основном, и их доказательства.
