Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
(5) Если первый ряд из рассмотренных в (4) расходится Или колеблется, то так же ведет себя и второй, если k ¦ф 0.
(6) Если U1 -j- H2 -j-... и v1 -j- v2 -f-... оба сходятся, то ряд (H1 -j- v1) -f- (к2 -j- TX2) -j-... также сходится, и его сумма равна сумме двух первых рядов.
Все эти теоремы почти очевидны и могут быть доказаны непосредственно из определений или же применениемрезультатов ПП.бЗ— 66 к сумме Sn = U1 -[- K2 -j- ... -j- ип. Следующие теоремы носят уже несколько иной характер.
(7) Если U1 -j- K2 -j- ... сходится, то Hm Un = 0.
Ибо Kn = Sn-Sn-1, a Sn и sn_x имеют один и тот же предел s. Следовательно, Hm Un=S — s = 0.
Читателю может показаться, что и обратная теорема справедлива, т. е. что если IiHiMn = O, то ряд M1-J-M2-)-... должен быть сходящимся. Что это не так, легко убедиться на примере. Возьмем так называемый гармонический ряд
1 Г
для которого Hn=.— . Сумма его первых четырех членов ,1.1,1 ,,1.1
1+У+з+Т>1+Т + Т-
п 1,1,1,14 1
Сумма следующих четырех членов 4- + 4- -^- >-з- = -~ ; сумма сле-
8 1
Дующих восьми членов больше чем 2q = y и т- Д- Таким образом, сумма первых
44-44-84-16 4-. ..4- 2" = 2"+1
членов больше, чем
2 + T+T + T + '" + W(*+3>'
а это стремится к + со вместе с я, а значит, ряд расходится к +оо. 10«
Ґлава четвертая
(8) Если U1 -j- -f- и3 -j- • • •' сходится, то будет сходиться и любой ряд, составленный из данного произвольным объединением в скобки его членов так, что выражение в каждых скобках образует член нового ряда. Сумма каждого из таким образом составленных рядов равна сумме исходного ряда.
Читатель сможет самостоятельно доказать эту теорему. Обратная теорема здесь также неверна. Так, 1—1 + 1 — 1+... колеблется, тогда как
(1-1) + (1-1) + ...
или 0 + 0 + 0 + ... сходится к нулю.
(9) Если каждый член Un положителен (или равен нулю), то ряд 2 ип либо сходится, либо расходится к -j- со. Если он сходится, то его сумма должна быть положительна (кроме того случая, когда все члены равны нулю; в этом случае его сумма, конечно, также равна нулю).
Действительно, Sn, по определению п. 69, является возрастающей функцией от й, и мы можем применить результаты этого пункта к Sn.
(10) Если каждый член Un положителен (или равен нулю), то Необходимым и достаточным условием сходимости ряда 2 Un является существование такого числа К, что сумма любого числа членов ряда будет меньше чем К; если такое К может быть найдено, то сумма ряда не превосходит К.
Это также непосредственно следует из п. 69. Вряд ли нужно особо отмечать, что теорема становится неверной, если отбросить условие о положительности ип. Например,
1 — 1 —f— 1 — 1 —f— ...
явно колеблется, так как Sn поочередно равно 1 и 0.
(И) Если U1 + K2-]- ..., V1-J-V3-J-... —два ряда с положительными (или равными нулю) членами, причем второй ряд сходится и для всех значений п Un^Kvn, где К— постоянная, то первый ряд также сходится, и его сумма не превосходит умноженную на К сумму второго ряда. Ибо если V1 + г»2 -j- ... — t, то V1 + г»2 -j- ... -f- Vn ^ t для всех значений п и, следовательно, mx+m2-j--f- • • • -+ Un Kt,' что и доказывает теорему.
Обратно, если ^un расходится и Vn^Kun, где К^>0, то ^1Vn также расходится.
78. Бесконечная геометрическая прогрессия. Рассмотрим теперь бесконечный ряд с общим членом Un = гп-1. Этот ряд называется „бесконечной геометрической прогрессией". В этом случае
если гф 1; при г— 1
5п = 1 —i— 1 —f—. - > —f— 1 —п.
Пределы функций от целочисленного переменного
149
В последнем случае Sn- + со. В общем случае Sn стремится к конечному пределу тогда и только тогда, когда гп стремится к конечному пределу. Обращаясь к результатам п. 72, мы видим, что ряд
1 -j- г -j- г- -j- ... сходится и имеет сумму ~— тогда и только
тогда, когда — 1 <^ г <^ 1.
Если r^l, то Sn^n и Sn-»-J-COi т.е. ряд расходится к -j- со. Если /¦=— 1, то Sn = 1 или Sn = O1 в зависимости от того, нечетно я или четно, т. е. Sn ограниченно колеблется. Если г<^—1, то Sn неограниченно колеблется.
Итак, ряд 1 -|- г + гг -j- ... расходится к + оо, если 1, схо~
дится к t _ , если—1<V<^1, ограниченно колеблется, если
г=-—1, и неограниченно колеблется, если r<^—1,
Примеры XXIX. 1. Периодические десятичные дроби. Самым распространенным примером бесконечной геометрической прогрессии являются периодические десятичные дроби. Рассмотрим, например, десятичную дробь 0,217(13), По правилам арифметики это равно
13
2 2 і Ii і її і і і Ii _ 217 IQS _ 2 687
1O + IO2 + IO3 + IO1 + IO5 + IOe + IO7+ 1000 i__L !2 375 '
10*
Читатель должен разобрать, в каком месте и какая из общих теорем п. 77 применялась в этом вычислении.
2. Показать, что вообще
и,ata*...ат (аЛ...чП)-- 99...900Г^О~
где знаменатель содержит и девяток и т нулей.
3. Показать, что чисто периодическая десятичная дробь всегда равна дроби, знаменатель которой не делится ни на 2, ни на 5.