Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
9 (я) <Ь (я) — (г + is) (r' + is') = Im.
Следующие теоремы имеют несколько иной характер. (10) Для того чтобы ср (я) = р (я) -J- h (я) сходилась к нулю при п —>- со, необходимо и достаточно, чтобы
І9(л)1 = /{р(я)}а + {°(я)}«
сходилась к нулю.
Если р (я) и s (я) обе сходятся к нулю, то очевидно, что и 1^p2 + в2 сходится к нулю. Обратное предложение следует из того, что |р[ и І GI не могут превосходить Ур% + s2>
(11) Вообще, для того чтобы ф(я) сходилась к пределу I, Необходимо и достаточно, чтобы
|9(я)-/|
сходилась к нулю.
Ибо тогда 9 (я) — I сходится к нулю, и мы можем применить теорему (10).
(12) Теоремы I и 2 пп. 83 м 84 остаются в силе и для комплексных ср (я) и ип.
гь, чт їлась
I <Р (я2) - 9 Ы I < S
Мы должны показать, что необходимым и достаточным условием для того, чтобы 9 (я) стремилась к пределу /, является выполнение неравенства
для я2 > nt Ss я„
(4) Если lim ф (я) = /, то Hm kcp (я) = kl.
(5) Если Нтср(я) = / и Пт<|>(я) = яг, то Hm ср (я) (я) = 1т.
(6) Если U1 -f- ua -f- ... сходится к сумме / и D1-J-D2-{-.. сходится к сумме т, то (и, -J- D1) -J- (иа -J- •U2) -J- ... сходится к сумме 1-\-т.
(7) Если M1-J-M2-J-... сходится к сумме /, то Aa1-J-Aa2-J-... сходится к сумме kl.
(8) Если M1-J-M3-J-M3-J-... сходится, то HmMn=O.
(9) Если u1 -J- и2 -J- Mg -J- ... сходится, то будет сходиться и любой ряд, составленный из данного объединением в скобки его членов, и суммы всех таких рядов будут равны сумме исходного ряда.
В качестве примера докажем теорему (5). Пусть 9(я)= р(я)+ is(я), <1*(я) = р'(я) + iV(я), I= г+ is, m = r' + is'; тогда
р(я)—г, л(R)-S, рЧя)-"", в'(я) —s'.
Но и
так что т. е.
Пределы функций от целочисленного переменного І6І
11 Г. Харди
Если ср (л) — /, то р(и) —г и а (я)—^s, и мы можем найти числа п'0 и яо, зависящие от §, и такие, что
I P (Пі) - р (u1) I < у 8, I в (я,) - о (Лі) KyS,
причем первое неравенство имеет место, когда яа>я1^ п'0, а второе, — когда я2> W1^nJ,'. Следовательно,
I <? (Л,) - ср (R1) I eg I р(Я,) - р(я1) J + | а(Я2) - 5(R1) I < 8,
когда я2 > ях яв, где я0 — большее из чисел п'0 и я'0'. Таким образом, условие (I) необходимо. Для доказательства его достаточности мы должны только заметить, что
I P (я,) - р (яО К I -f (я,) — ср (ях) 1 < S
при я8> R1Ss я0. Следовательно, р (я) стремится к пределу, и таким же путем мы убедимся, что а (я) стремится к пределу.
87. Предел zn при п-*-оо, где z — любое комплексное число.
Рассмотрим важный случай, когда <p(n) = zn. Этот вопрос уже рассматривался нами для действительных значений z в п. 72. Если zn-+l, то Z™-+1 (по (1) п. 86). Но (по (4) п. 86)
zn+1=zzn-±zl,
и, следовательно, l=zl, что возможно только, если (а) /==0 или (b) z=l. Если z=l, то Hmг* =1. За исключением этого частного случая, предел, если он существует, должен быть равен 0. Но если 2 = r(cos6-f-isin6), где г положительно, то
zn = rn (cos п 6 -f- і sin п 6),
так что \zn\ = rn. Следовательно, \zn\ стремится к 0 в том и только в том случае, когда г<^1, и из (10) п. 86 следует, что
Hm г" = 0
тогда и только тогда, когда г<^1. Ни в каких других случаях zn не стремится к пределу, не считая рассмотренного уже случаям = 1.
88. Геометрическая прогрессия \-}-z-\-z%-\-... с комплексным z. Так как
sn=*l + z + * + ... + *r-l = {=?,
кроме того случая, когда Z = I и Sn = я, мы получаем, что ряд 1 -J- z -|- z* -\-... сходится тогда и только тогда, когда |z|<^l.
Сумма этого ряда в случае его сходимости равна —.
Таким образом, если z = r(cos6 -f- і sin 6) = zCiso и г<^1, то мы имеем
l+* + *. + ...-T_lCS|j
162
Ґлаеа четвертая
или
, і п- о і >r- on і 1 1—r cos 6 +t'r sin G
l + r Gs 6 +r Cis 20 +... = , ,.Cis& = -1—27ZoIe + •
Отделяя действительную и мнимую части, мы получаем:
1 + г cos б -4- f- cos 29 -4-... = —1 rZ°l\--» >
. о і о . ой і rsin6
при условии, что г<^1. Если мы заменим 6 на б —|— тг, то увидим, что эти результаты остаются в силе и для отрицательных значений г, по модулю меньших чем 1. Итак, они справедливы для—1<V<^1.
Примеры ХХХШ. I. Доказать непосредственно, что ср (я) = г" cos яб сходится к 0, когда г<1, и к 1, когда г= 1 и G равно целому кратному 2т.. Доказать, далег, что если г= 1 и 6 не кратно 2г., то ср (я) ограниченно колеблется; что если г>1 и 0 кратно 2т., то ср (я) —>¦ -f- со, а если r> 1 и 6 не кратно 2г., то ср(я) неограниченно колеблется.
2. Установить соответствующие результаты для ср (я) = rn sin я9.
3. Доказать, что
zm + 2zm+1 + 2zm+2 +
1 -z
тогда и только тогда, когда |г|<1. Какие нз теорем п. 86 применяются при доказательстве?
4. Доказать, что если —1<г<1, то
1 +2rcos0 + 2/•2COS29+ = .-* ~ Г* , „ ¦
' 1 — 2г cos 9 + г
5. Ряд
сходится к сумме----=1+г, если
I
<1. Показать, что это
\z + l
2+1
условие эквивалентно тому, что действительная часть z больше —.
89. Символы О, о, ~. В заключение этой главы мы приведем несколько определений, которые нам понадобятся лишь позже, но логически место которых здесь.
