Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
если бы Т/я — /, где />1, то мы имели бы п>1п, что во всяком случае
1п
неверно для достаточно больших значений я, так как — — 4"°° вместе с я (примеры 7, 8).]
12. —, —<¦ 0 для всех значений х. [Если Un = —г то = —4% . что
я! 1 я! ' Un п 4-1'
стремится к нулю при я—оо, так что Un стремится к нулю (пример 6).] п ._
13. Т/я! -*4-°°' [Ибо я!>х™ для достаточно больших я, как бы велико ни было x (пример 12).]
7. Исследовать поведение при п — оо функции
Cf (я) = ягх",
где г—любое положительное целое число.
[Если х = 0, то ср (я) = 0 для всех значений я, н у (я) — 0. Во всех других случаях
9(я + 1)_ / я + 1
142 Ґлава четвертая
«я " + 1
кроме того случая, когда х = 0.]
73. Предел • Более трудная задача, которая может
/ . 1 \п
быть решена с помощью п. 69, возникает, когда ер (я) = f 1 -j- — ) Применяя формулу Ньютона, получаем:
='+'+гЫ'Ч)+тЫ'Ч)(>-1) + -+ ¦ '^1)(^1)...(1 -1
1 -2... я V п \ п ' " \ п
В этом разложении (/? -j— 1)-ый член имеет вид
1 ^1-IWi-Il...fi р~1
1•2•••PV п. I \ п / \ я
Он положителен и является возрастающей функцией от я. Число членов суммы также возрастает с я. Следовательно, ^l-f-~j возрастает с я и поэтому либо стремится к пределу, либо к-j-сю, когда я —- со. Но
(і+!) <1+1+^2+Ь^+--- + ТТ2ТЗ^< <1 + 1+l+J_+... + _l_<3.
Поэтому не может стремиться к -\- со, а следовательно,
^ п
где е — некоторое число такое, что 2<^е^3 Пример. Найти предел
я-"-1 (я + 1)". (Экз. 1934 г.)
14. Показать, что если —1<х<1, то
_ т (/н —1)... (от-я + 1) _ т
"я— — L»r
СТремИТСЯ К НуЛЮ ПрИ п—+СО.
[Если от — положительное целое число, то ип — 0 для п>т. Если же /Я не есть положительное целое число, то
мп+і т — п
Пределы функций от целочисленного переменного 143
г+1
Аналогично докажем, что
1 _ gm і _ ЙГ
__^r<_T^(0<?<l). (2)
Отсюда следует, что если г и s — положительные целые числа и r~>s, "'-I 1-?' ,-,
Здесь 0<?< 1 < а. В частности, при s = l, мы имеем:
Cc^ — 1 > /- (а — 1), 1 — р»- <; /- (1 — р). (4)
(2) Неравенства (3) н (4) были доказаны в предположении, что г и S — положительные целые числа. Ho легко видеть, что они остаются в силе н при более общих предпосылках, когда г и s — любые положительные рациональные числа. Рассмотрим, например, первое из неравенств (3). Пусть
ас ,j
г = —, S = -^-, где а, о, с, а — положительные целые числа, причем
ad~>bc. Если мы положим а = іьа, то неравенство примет вид
^ad_і ^Ьс_\
ad > be •
а это нами уже доказано. Аналогичные рассуждения применимы и к другим неравенствам; подобным же образом можно, очевидно, доказать, что
as— 1 <s(a— 1), 1— s(l -?), (5)
где s — положительное рациональное число, меньшее 1.
(3) В дальнейшем мы предполагаем, что все буквы обозначают положительные числа, что п и s рациональны, и что а и г больше 1, а ? и s
меньше 1. Заменяя в неравенствах (4) а на -р- и ? на— 7 мы получим:
аГ—\<гаГ~*(а—\), 1 — ?r > rrf~l (1 — ?). (6)
Аналогично, из (5) выводим:
as— 1 >sa*-l(a— 1), 1 — ?s < s?s~l (1 — ?). (7)
Сочетая (4) н (6), мы внднм, что
ГаГ-1(а— 1)>аг— 1 >r(a — 1). (8)
Заменяя а на у , мы получим:
га-'-1 (X — у) > хг —у > гуг-1 (X —у), (9)
74. Несколько алгебраических лемм. Здесь уместно доказать несколько элементарных неравенств, которые нам понадобятся в дальнейшем.
(1) Если а>1 и г—положительное целое число, то очевидно, что
ГаГхГ^ + аГ-*-{-...-\-\.
Умножая обе части неравенства на а—1, получим:
гаГ(а— \)>аГ—\;
прибавляя к каждой части г(аг—1) и деля на г (г-J-I)7 получим: а'+1 —1 аг_і
> —^- («>!)• (1)
144 Глава четвертая
я,_ я__/ 1 \ 1
«(/«-i)>V«(i-7)>i-7 •
> 0. Следовательно, еслі lim/г (І/Т-1)=/(а),
п -» oo
Таким образом, /?!--~ > 0. Следовательно, если а>1, то мы имеем:
причем /(а)>0.
Пусть теперь ?<l, и положим^ = — ; тогда
а
если х>у>0. Аналогичное рассуждение, примененное к (5) и (7), приводит к неравенству
sxs_1 (х — у) < xs — ys < sys _1 (л- —у). (10)
Примеры XXVIIL 1. Проверить неравенство (9) для г —2, 3 и неравенство (10) для S = -^-» "з" •
2. Показать, что (9) н (10) остаются в силе, если у>х>0.
3. Показать, что (9) остается в силе прн г < 0.
[Значительно более полное рассмотрение неравенств (9) н (10) может быть найдено в книге Г. Харди, Дж. Литтльвуд н Г. Полна, Неравенства, гл. II. Там же см. Добавление I.]
4. Если у(п)^1, где />0, н k рационально, то <р'г—->1к.
[В силу теоремы III п. 66, мы можем предположить, что k > 0; мы можем также предположить, что -^¦I < <р < 21, что имеет место, начиная с некоторого значения я. Если k > 1, то
Щ *-1 (<р — J) ><р* — /* > A/fc-i ('f — /),
или
A/ft~ (/ - 9) > — ер* > Atpfc-1 (/ - <p),
в зависимости от того, будет 9>/ или 9</. Отсюда следует, что
/1 \fc_1
отношение величин [ 9*-— /*| и [ tp—/| лежит между A ( у Ij н k(2l)k~l.
