Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть сря->/ при я->oo, так что Hm (ср„— /) = 0. Следовательно, по признаку Дирихле, Цап(<?п~1) сходится; а так как ?ая сходится, то мы заключаем, что сходится и Б аясря.
Эта теорема может быть сформулирована и следующим образом: сходящийся ряд остается сходящимся, если мы умножим его члены на соответствующие члены любой положительной убывающей последовательности.
382 Глава восьмая
|s„+ff„|-
1 ¦
.1+[Zl
: U-Z
2
так что I Sn I и \ t„ \ не превосходят -г-.-r. То что эти ряды не являются
11 — z I
сходящимися, следует из того, что их я-ые члены не стремятся к нулю (см. пример XXIV. 7).
Ряд синусов сходится к нулю, если 9 кратно г. Ряд косинусов ограниченно колеблется, если 0-—нечетное кратное я, и расходится, если 9—четное кратное тт.
Отсюда следует, что если <р„ — положительная функция от п, которая монотонно стремится к нулю при я -* оо, ото ряди
? <Р„ cos п 9, ? <р„ sin п 9
сходятся, за исключением, быть может, первого ряда, если 9 кратно 2тс. В этом случае первый ряд сводится к ряду ? <р„, который может сходиться или расходиться при 9 кратном я, второй ряд тождественно обращается в нуль. Если ?ср„ сходится, то оба ряда сходятся абсолютно (см. пример LXXVII. 4) для всех значений 6. Поэтому особенно интересным является тот случай, когда ? <ря расходится. В этом случае рассматриваемые ряды сходятся условно, а не абсолютно, как будет доказано ниже в примере 6. Если мы положим 6 = г в первом из этих рядов, то мы вновь получим результат п. 195, так как cos nit = ( — 1)".
3. Ряды ? n~s cos я9, ? n~s sin я 9 сходятся, если s > 0, за исключением первого ряда в том случае, когда 9 кратно 2я и 0 < s 1.
4. Ряды из примера 3 являются в общем случае абсолютно сходящимися при s > 1, условно сходящимися при 0 <с s ^ 1 и колеблющимися при SrSjO (ограниченно при S = O и неограниченно при s-<0). Указать возможные исключения.
5. Если ? ann~s сходится или ограниченно колеблется, то ? ипп'4 сходится при t > s.
6. Если tpn является положительной функцией от я, которая монотонно
СТреМИТСЯ К НуЛЮ ПРИ Л-»О0, И ? (р„ раСХОДИТСЯ, TO рйДЫ ?'f„COS/ZS,
?(р„8іпя9яе будут абсолютно сходящимися, за исключением ряда синусов при 6 кратном тс. [Действительно, предположим, что ? <р„ | cos п 6 | сходится. Так как coss л9 ^ | cos л9 |, то отсюда следует, что
Примеры LXX1X. 1. Признаки Дирихле и Абеля могут быть доказаны также с помощью общего признака сходимости (см. п. 84.) Предположим, например, что выполняются условия признака Абеля. Мы имеем следующее тождество:
ат<?т + ат+і <Р/я+1 + • • • -\\ап'$п — sm, т (<Р/п — ?m+i) + Sm, m+i (<pm+1 — tpm+s) +
Лт, n-i (<Pn-i —<?«) + sm, n fro (1)
где
sm, v=am + «m+i+ ••• + «„.
Левая часть тождества (1) заключена поэтому между fttpm и Щт, где Ii и H обозначают наименьшее и наибольшее из чисел sm< т, sm> m+i, ... , sm) „. Но для любого данного положительного S мы можем найти такое т0> что \sm< , I < 8 для от от0, и, следовательно,
I <*т<?т + 1Pm-H + • • • + ал<?п I < °>m &Ри
если я > от от0. Таким образом, ряд ? a„tp„ сходится.
2. Ряды ? cos яб и ?sinn0 ограниченно колеблются, ести 9 не кратно г. Действительно, если мы обозначим через Sn и tn суммы первых п членов этих рядов и положим Z = Cis9, так что |z| = l и гф\, то найдем, что
Сходимость бесконечных рядов и несобственных интегралов 38S
J] <Ря cosS п 9 или -j Б tpn (1 + cos 2« 9)
сходится. Но это невозможно, так как J] ср„ расходится, a J] <ря cos 2я8 сходится, по признаку Дирихле, если 8 некратно-; если же 8 кратно к, то расходимость J] срл I cos її 9 j очевидна. Читателю рекомендуется провести соответствующее доказательство для ряда синусов, отметив то место, в котором, оно не проходит при 9 кратном г.]
197. Ряды с комплексными членами. До сих пор мы ограничивались рассмотрением рядов, все члены которых действительны. Рассмотрим теперь ряд
2«я=2 (vn -[¦Iwn),
где Vn и Wn действительны. Изучение таких рядов не представляег никаких новых трудностей. Ряд ? Un сходится в том и только том. случае, когда сходится каждый из рядов
Однако один класс таких рядов заслуживает специального рассмотрения. Дадим следующее определение, которое является очевидным-1 обобщением определения из п. 191.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Ряд%ип, где иn = vn-\-iwn, называется абсолютно сходящимся, если абсолютно сходятся ряды ?vn и ^wn*
ТЕОРЕМА. Необходимым и достаточным условием абсолютной, сходимости ? Un является сходимость 21 ип I или
Действительно, если ?ип сходится абсолютно, то оба ряда YJfnJl и Y, [ WnI сходятся, а следовательно, сходится и
Но _
I и* 1 = ]АП+< ^ I г;*! +1 I.
и, следовательно, 2[ггп| сходится. С другой стороны,
Kl^j/Vn+а>п, |™я|^ У*1+К'
так что YJfnI и SI^nI сходятся, если сходится ?|ип|.
Ясно, что абсолютно сходящийся ряд является сходящимся,, так как его действительная и мнимая части по отдельности сходятся. Теорема Дирихле (см. пп. 176, 192) может быть также сразу обобщена на абсолютно сходящиеся комплексные ряды, в силу ее справедливости для рядов ? Vn, 2 wn-
