Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
16. Решение разностных уравнений. Соотношение вида (1) из примера 15 называется линейным разностным уравнением относительно а„ с постоянными коэффициентами. Метод решения таких уравнений достаточно разъяснить на примере. Допустим, что мы имеем уравнение
ап — an_i — 8й„_а + 12а„_3 = 0.
Рассмотрим рекуррентный степеной ряд Бапг". Как в примере 15, мы найдем, что его сумма равна
+ O0)Z-J-Ja1,— «і — 8й„)г8 _ A1 А» В
1 — г— 8z2-|-12z3 1— 2г+ (1 — 2zf +3z'
.где Ai, Аг и В — величины, легко выражаемые через а0, U1 и as. Разлагая по отдельности каждую дробь в степенной ряд, мы найдем, что коэффициентом при zn является
ап = 2" {A1 + (п + 1) А,} + (- 3)"В.
Значения A1, Л2, В зависят от первых трех коэффициентов а0, аь а», которые, конечно, могут быть выбраны произвольно.
17. Решением разностного уравнения
Un — 2cos 6мп_! +' м„_2 = 0
является M„ = /lcosn6-f-.osinne, где А и В — произвольные постоянные.
18. Если Un — многочлен степени k относительно и, то LanZ" является рекуррентным рядом, производящий многочлен которого равен (1—г)*"4.
(Экз. 1904 г.)
19. Разложить в степенной ряд по возрастающим степеням z функцию
(z — \)(z+2f
(Экз. 1913 г.)
20. При игре в монету игроку засчнтывается одно очко, если выпадает орел, и два очка, если выпадает решка. Игра ведется до тех пор, пока счет ие превзойдет и. Показать, что вероятность получить в точности и очков
равна !{2+(-1)"}.
(Экз. 1898 г.)
*) The Scale of relation of the series.
396 Глава восьмая
a-f-1 1 а-4-2 1 "'тв + я VWo-I-I V4 2 У (й + !)(« + 2)
где я—положительное целое число и й не равно ни одному из чисел —1, — 2, —п.
[Это следует из разложения каждого слагаемого в правой части на простейшие дроби. Когда а>—1, результат может быть очень легко получен из равенства
і і
0 о
1 —хп
разложением ^_^ и 1—(1—х)п по степеням х и почленным интегрированием. Результат является алгебраическим тождеством, и поэтому должен иметь место для всех значений а, кроме —1, —2, —я.] 22. Доказать перемножением рядов, что
00 оо OO
22п у (-_yi-i_* _у/. , 1 , 1 , ,±\*_ п\ _j я-я! I 2 3 я / п!
01 1
[Коэффициент при г" оказывается равным
тИ("Н("К(")-1
Далее применить результат примера 21, полагая а = 0.]
23. Исследовать, насколько это возможно, имеющимися в нашем распоряжении средствами сходимость ряда
Vl 2я!
__j я! я!
для действительных и комплексных z.
(Экз. 1924 г.)
24. Если An-A и Bn-B при я —оо, то
1 (A1Bn + A1Bn^ + ... + AnB1) - AB.
[Пусть An = A-^-sn. Тогда рассматриваемое выражение примет вид Вг+Вш + ...+В„ b1Bn+ CzBn,,+ ...+ cnB1
п ~*~ п
Первое слагаемое стремится к AB (см. гл. IV, Разные примеры, 16). Абсолютная величина второго меньше
[Если эту вероятность обозначить через рп, то
Ря = у(Ря-і+Ря-і);
кроме того, р0 — 1, pi == 2" •J 21. Доказать, что
1 ¦ 1 .. ,____(«)____(«) 1! ,
• ' • i /. . 1_ я 1 i 1 9 //т _ 1 Ч . 1_ 0\ t-
Сходимость бесконечных рядов и несобственных интегралов 397
2 2^3
2\ Зт5 ~ 2 4 V 1 3 /
[Применить результат примера 9 для доказательства сходимости рядов.]
28. Доказать, что если ш>— 1, р>0, я>0 и
і
Um<n = ^xm(\-xPfdx, о
то (т + пр +1) Um%n =пр Um*n_i. Вывести, что і і
jx-l'*(l-xlW*dx = ^x-l'*(l~xlW*dxt
о о
и вычислить эти интегралы подходящей подстановкой.
(Экз. 1932 г.)
где ? — любог число, превосходящее наибольшее значение | ?v |; это выражение стргмится к нулю.]
25. Доказать, что если
Cn ~афп + афп^ + ... + апЬх
и
An = a1+as + ... + an, Bn = bl + b.2 + ... + bn, Cn = Ci + c2 + . .. + сп, то
Cn = U1Bn + а2В„_, +... +OnB1 = ЪхАп + Ь^А^ + ... + bnAt C1 + C2+...+ Cn = A1Bn + А,В„_г + ... AnB1.
Доказать, что если ряды ? а„> ? Ьп сходятся и имеют соответственно суммы А к В, так что Л„ — А и Вп—+В, то
Ci + C2 + ¦ ¦.+ Cn ^ п
Вывести отсюда, что если ? сп сходится, то сумма этого ряда равна AB. Этот результат известен как теорема Абеля об умножении рядов. Мы уже видели, что можно умножать ряды указанным образом, если оба ряда абсолютно сходятся; теоргма Абеля показывает, что результат остается в силе и в том случае, когда один или оба ряда не являются абсолютно сходящимися, но полученный ряд сходится.
26. Если
(—1)"
а„= 'Г—Ап = а0 + а1 + ... + ап, ¦ Vn + I
6n~aoan + aian-l+.., + ana0, Bn = b0 + bl +... + bn,
то 1° ?ал сходится к сумме А, 2° An=A + O(U 3° Ьп ограниченно колеблется, 4° Bn = U0An +aiAn_i + ... + OnA0 и 5° Bn ограниченно колеблется.
(Экз. 1933 г.)
27. Доказать, что
w,_. + ._...r=._.(l+.)+i(l+±+.b..,
398
Глава восьмая
29. Доказать, что
/-- 1
С dx _2 — У2 ('Xі arc sin л: __7
J X4Vo2+"^ За4 ' Jy І^лГ2 * _ 9 '
(Злгз. 1932 г.)
30. Вывести следующие формулы:
со со
JV {/а^+Т + x}dx = -і-j (1 + yV) Fb>) *У>
0 1
оо 1
JV -x}dx = f ^l+fYjF(y)dy.
O O
