Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
2na —10 и4 '
так как и2 —10 ^> 0 при й^4, и к таким интегралам как
oo 1
J (x+If ах' J ух '
1 о '
7 1
так как Ъх — 7>0 для х^>-^ и 1 — 2х^>0 для 0<^х<^^-
Но если перемены знака Un продолжаются, как бы велико ни было п, т. е. если и положительных и отрицательных членов x 1,1 I1
бесконечно много, как, например, в ряде 1—у "Г 3 —4""T-—'
или если ср(х) меняет знак неограниченное число раз при х~+-оо, как, например, в интеграле
oo
1
или при х-*-а, где а является точкой разрыва у(х), как, например, в интеграле
f si„ (_J_) -*L_ , J V x—a Jx— а '
а
Сходимость бесконечных рядов и несобственных интегралов 375
то вопрос о сходимости и расходимости становится более сложным. Это объясняется тем, что помимо сходимости и расходимости, мы теперь должны учитывать еще возможность колебания.
191. Абсолютно сходящиеся ряды. Рассмотрим, стало быть, ряд 2«„, в котором каждый член может быть либо положительным, либо отрицательным.
Положим і „ і
так что Cin = Un, если ип положительно, и Ctn = — ип, если Un отрицательно. Пусть, далее, Vn=Un, если un положительно, и Vn = O, если ип отрицательно, и Wn = —-ип, если ип отрицательно, и Wn = О, если ип положительно. Другими словами, положим либо Vn = Ctn, Wn = O, либо vn=0, Wn=Ctn в зависимости от того, положительно ли ип или отрицательно. Тогда очевидно, что Vn и Wn всегда положительны и что
Un = Vn-Wn, Ctn = Vn-}- Wn.
Если, например, мы имеем дело с рядом
2) ^\3
(—I)"-1 1 1
то ип = ~—^—- и ап = -^-, причем = — или »„ = 0 в зависимости
1
от того, нечетно п или четно, a Wn = —^-HmWn = O — в зависимости от того, четно п или нечетно.
Мы должны теперь различать два случая.
А. Допустим, что ряд ?ап сходится. Это, например, имеет место для только что рассмотренного ряда, где
?«„=1+(4)4(-3-)2 + ... .
Тогда оба ряда ^vn и ^wn сходятся, так как (см. пример XXX. 18) любой ряд, состоящий из части членов сходящегося ряда с положительными членами, сам сходится. Следовательно, по теореме (6) п. 77, 2«п или H(vn—wn) сходится и имеет сумму, равную ^vn—^wn. Таким образом, мы приходим к следующему определению.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если 4^an или 2| «„| сходится, то ряд ?ип называется абсолютно сходящимся.
Мы уже доказали, кроме того, следующее предложение: если ряд 2цп сходится абсолютно, то он сходится и вообще; ряды, доставленные по отдельности из его положительных и его отрицательных членов, также сходятся, и сумма самого ряда равна €умме его положительных членов плюс сумма его отрицательных членов.
376
Глава восьмая
Читатель не должен думать, что утверждение ,абсолютно сходящийся ряд сходится" является тавтологией. Когда мы говорим, что ?а„ „сходится абсолютно", мы непосредственно ничего не утверждаем относительно сходимости ?и„; мы утверждаем сходимость другого ряда, а именно, E | Un |, и совсем не очевидно, что это исключает возможность колебания ряда Цн„.
Примеры LXXVII. 1. Применить ,общий признак сходимости" (п. 84, теорема 2) к доказательству того, что абсолютно сходящийся ряд сходится.
[Если S I н„ I сходится, то для любого заданного положительного числа 8. мы можем найти такое что
l%+ll + l%+2H-----Н"„,1<5
если
па > 2s
Тем более
1ня,4-1 +%+2 +----\-иъ\<Ь>
и, следовательно, ?ия сходится.]
2. Если ?а„ — сходящийся ряд с положительными членами и \Ъп\ =? Кап> то 2й„ сходится абсолютно.
3. Если ?а„ — сходящийся ряд с положительными членами, то ряд Y.anxn сходится абсолютно для каждого значения х, для которого —lssSATsgl.
4. Если ?ап — сходящийся ряд с положительными членами, то ряды. ?an cos я9, Ean sin я9 абсолютно сходятся для всех значений в. [Примерами могут служить ряды
E/-"cos«9, Er" sin яЭ
из п. 88.]
5. Любой ряд, состоящий из части членов абсолютно сходящегося ряда, сам сходится абсолютно. [Так как ряд из модулей его членов является частью ряда из модулей членов исходного ряда.]
6. Доказать, что если El Un \ сходится, то
I Еи„ I «? E I и„ I,
и что знак равенства возможен только в том случае, когда все члены имеют один и тот же знак.
192. Обобщение теоремы Дирихле на абсолютно сходящиеся ряды. Теорема Дирихле (см. п. 176) показывает, что члены ряда, если они все положительны, могут быть переставлены любым образом, причем сумма ряда при этом остается неизменной. Легко видеть, что абсолютно сходящиеся ряды обладают тем же свойством. Действительно, пусть 2кя в результате некоторой перестановки переходит в 2вя> и пусть ct'n, v'„, w'n образованы из и'п так же, как an, vn, Wn образованы из ип. Тогда ^an сходится, так как этот ряд является перестановкой ряда 2адо сходятся также ряды ^vn, ^wn, являющиеся перестановками рядов ^vn, ^wn. По теореме Дирихле мы имеем: ^vn = ^vn и J^wn == J^wn. Следовательно,
2«; = ix — Zwn=?vn—Zwn=Zun.
193. Условно сходящиеся ряды*). В. Теперь мы должны рассмотреть вторую возможность, заключающуюся в том, что ряд 2ая>. составленный из модулей, расходится к сю.
*) Такие ряды называются также неабсолютно сходящимися. (Прим.. перев.)
