Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
В частности, доказать, что если и> 1, то
со со
Г , Jf---=Г (VxT+1-xy dx= " .
[В этом и последующих примерах предполагается, что рассматриваемые интегралы понимаются в смысле, определенном в п. 184 и сл.]
31. Показать, что если 2у = йлг--—, где а и Ъ положительны, то у
монотонно возрастает от —со до оо, когда х возрастает от О до со. Отсюда вывести, что
О —со r J 1
Если / (у)—четная функция, то это выражение равно
со
J- J
о
32. Показать, что если 2у = ах + — , где а и Ь положительны, то
любому значению у, большему Vab, соответствуют два значения х. Обозначая большее из них через хи а меньшее — через х2, показать, что когда
у возрастает от У ab до со, то X1 возрастает от|/^-~~ д° °°> а xt убывает от
V-
-^- до 0. Отсюда вывести, что
OO со
J/(y)^=4 J/(y,{—L-+ 1}«,,
VbIa \ ab
VbJa со
О VaS У У
Сходимость бесконечных рядов и несобственных интегралов 399»
и что
СО ^
г/(И«+4)Ь-1 J\A *4j/oro*
о ^ о
33. Доказать формулу:
} ,1 1 1 \ dx (*,,
/ secTx+tg^ X -—=^= /(cosecx) _ .
J \ ¦b ¦b / 1/ sin X J I/sin Jt
о ' о
34. Если а к b положительны, то
5 CG
dx я Г x5Ax
J (x* + a'-)(x°- + b*) 2ab(a + b)' j
(xs + e2) (xs + Й2) 2 (a + b)
о' o
Вывести также, что если a, j3 и Y положительны и 3s ^aY, то
СО OO
X8AX Tt
(' dx _ x I
еде*+ 2?*»+ т 2i/2y71 ' j «x*+2?x2+y 2 ^2І4 '
где Л = р -f- V01y- Вывести последний результат также из формулы примера 31,.
полагая / (у) = ¦
[Последние два результата остаются в силе и при ?2 < try, но в этом случае их доказательство несколько сложнее.] 35. Доказать, что если b положительно, то
Г X2AX___ _П ('_X
J (Xа —й2)г + й2х2 ~2b' J {(X2 —в
xidx
2)24-й2х2}2 Ab3'
о о
36. Если <р' (х) непрерывна для х "> 1, то
x
где [х] обозначает наибольшее целое число, не превосходящее х.
(Экз. 1932 г.>
37. Если <р" (х) = О (х~ а), где а>1, для больших х, то
п+1
и Я + 1
2<?(»J + y)=J c(x)dx + C+0(n1-a), і і
где С не зависит от п. (Экз. 1923 г.).
400 Глава восьмая
о
38. Если
J1n = Jsinm 9 sin a (jc — 9) і
о
и т—целое число, не меньшее 2, то
т(т — l)Jm-st = а, &\птх A7 (от2 — aa) J1n.
Вывести, что
й2 . . о" (2* — о2) . 4 o2(22 —e2)(4a —й2) . „
COS ах = I--Sin2 X--i—j-.-- Sin4 X--1---- sin6 X —... .
2! 4! о!
(Экз. 1923 г.)
39. Доказать, что если
un = J siп2/глг ctg л: dx, Vn = J s'n^nAr Ас,
то ил_— тг и
JSin jc .
причем (что можно вывести интегрированием по частям или иным путем)
"я — Vn--0, так что р —Y г- (Экз. 1924 г.)
40. Если а положительно, /(jc) непрерывна, за исключением начала координат,
а а
Г/(X)dx = .lim (f(x)dx
J є->0 J
0 s
существует и
*<*)-jqfU
то
§g(x)dx=^f(x)dx. о о
(Экз. 1934 г.)
[Заметить, что
J {-P(AT)-? ("+2-)}rfAr =
п
= j{<? (« + y+') + <? (n +-2---)-2, («+ Tj}«.]
глава ix
ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ, ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО
204. Количество существенно различных типов функций, с которыми мы встречались в предыдущих главах, невелико; наиболее важными из них являются многочлены, дробно-рациональные функции, алгебраические функции, явные и неявные, и тригонометрические функции, прямые и обратные.
Постепенное расширение математического познания сопровождалось введением в анализ одного класса функций за другим. Эти новые функции как правило вводились потому, что решение той или иной задачи, которая привлекала к себе внимание математиков,с помощью известных до того времени функций оказывалось невозможным. Этот процесс можно сравнить с введением иррациональных и комплексных чисел, которые впервые были введены в связи с тем, что некоторые алгебраические уравнения не могли быть решены с помощью ранее известных классов чисел. Одним из наиболее богатых источников новых функций явилась задача интегрирования. Делались попытки интегрировать некоторые функции fix) в терминах уже известных функций. Эти попытки не увенчались успехвм, и после ряда таких неудачных попыток возникла идея, что эта задача может быть принципиально неразрешимой. Иногда удавалось доказать, что это действительно так, но как правило строгие доказательства таких фактов находились лишь гораздо позже. Вообще же случалось так, что математики признавали невозможность выражения некоторых интегралов через известные функции, как только они убеждались в неудаче попыток найти такие выражения. Тогда вводилась новая функция F (х), определяемая тем свойством, что F' (х) =f(x). Исходя из этого определения исследовались свойства F(х), и оказывалось, что F(x) обладает свойствами, которыми не может обладать никакая конечная комбинация ранее известных функций. Таким образом устанавливалась справедливость первоначального предположения о невозможности требовавшегося выражения этой функции. Один такой случай встретился нам на страницах этой книги, когда в гл. VI мы определили функцию In л: с помощью равенства
