Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
и т. д., сходится в тех и только тех случаях, когда ?>r+s+l ил» когда s является положительным целым числом, меньшим k (в этом последнем случае каждый член ряда равен нулю).
[Результат примера б, Разные примеры к гл. VII, показывает, что s общем случае А<* (я*) имеет порядок ns~k.\
3. Показать, что
со
_я8 + 9п + 5__ 5
(я+1)(2я + 3)(2я+5)(я+4) ~~ 36 '
(Экз. 1912 г.>
[Разложить общий член ряда на простейшие дроби.]
4. Если Ean является расходящимся рядом с положительными членами
и
ап-1 > Г~Г~~Г ' °п — ¦
то Z°n расходится. (Экз. 1931 г.>
[Легко проверить, что й„_і>йл. Следовательно, сходимость ряда ?йга повлекла бы за собой стремление nb„ к нулю, а значит, и стремление яа^ к нулю. Это дало бы Ь„^.а„, что приводит к противоречию.]
5. Показать, что ряд
l+z^2 2 + z+3 3 + Z + '"
сходится, если z не равно отрицательному целому числу.
6. Исследовать на сходимость или расходимость следующие ряды:
?sin — V — sin— , У. (—If sin—, V И — cos —
S(-lfn(l-coS-^ где а—действительное число.
Сходимость бесконечных рядов а несобственных интегралов 393, 7. Исследовать сходимость ряда
і
где в и а действительны. (Элгз. 1899 г.>
8. Доказать, что ряд
i_I_1_l.Ji.4-1.i_1_1_1_1_1.4_
2 3^4^5^6 7 8 9 10 т"""
в котором следующие друг за другом члены с одинаковым знаком образуют группы в 1, 2, 3, 4, ... члена, сходится, но что соответствующий ряд, в котором группы содержат по 1, 2, 4, 8, ... членов, ограниченно колеблется.
(Экз. 1908 г.)
9. Если U1, м_, M3, ... образуют убывающую последовательность положительных членов, стремящихся к нулю, то ряды
«1 — J («1 +' И*) + J («1 + "s + «з) — • ¦ •,
сходятся.
[Ибо если
«і— («1 + «з) + у (»1 + «3 + и6) ¦
«1 + «а + • • • + I
то v1, v2, vs, ... также образуют убывающую последовательность с пределом нуль (гл. IV, Разные примеры, 8, 16). Это показывает, что первый ряд сходится. Доказательство сходимости второго ряда предоставляется читателю. В частности, ряды
*-?}+г)+±Ы+1)-~
'-*(>+т)+т(^-+|
сходя тся.1
10. Если и0 -f U1-J- н_ -f-... — расходящийся ряд с положительными убывающими членами, то
U0 + U2 ¦f-... ¦f и.,,, j "і 4- и« + • • • + мэд+1
11. Доказать, что
1ІШ а>> .-+0 і
-1-а.
[Из п. 180 следует, что
я
О < і-1-3 4- 2-1-3 4-...4-(«- I)-1-3 - J X -1-2 Ae 1,
і
.. 1 а 4- 1
и отсюда легко вывести, что _« заключена между — и -
а а
394
Глава восьмая
12. Найти сумму ряда 2 "я> гДе 1
" (лг" -4- хгп) (лг"+1 -4- лг-"-1) лг —1 \лг"4-лг-" лг"+1 4- лг-"-1 У
для всех действительных значений лг, для которых этот ряд сходится.
(Экз. 1901 г.)
{Если \х\ф\, то ряд имеет сумму
X
(лг^Т) (л-М-Т)-
Если лг= 1, то Un = O и сумма равна 0. Если лг = — 1, то Un= -і(—1)п+1
и ряд ограниченно колеблется.]
13. Просуммировать ряды
14-2^14. г2І-1+24 -+-¦••> , _гї-І- ! _21 -І" 1 _г8-г----
{в которых все показатели являются степенями 2) для тех значений z, для которых они сходятся.
[Первый ряд сходится только для г по модулю меньших ], и его сумма
Z Z
,равна _ . Второй ряд сходится к сумме -, если | z ] < 1, и к сумме
1
Y~zrz' если 121>
14. Если I ап I ^ 1 для всех значений я, то уравнение
1 4- O1Z 4- й.22 4-... = 0
яе может иметь корня, модуль которого был бы меньше -L-; единственным
1
случаем, в котором ояо может иметь корень по модулю равный -g-,
является тот, когда а„=_—Cis(n9) [в этом случае корень равен y,Cis(—в)].
15. Рекуррентные ряды. Степенной ряд %anzn называется рекуррентным рядом, если его коэффициенты удовлетворяют соотношению вида
ап +Рі«я-і + pj«n-iH- ¦'.•¦l+lPk^-k'Hfi, (I)
еде /1^:? и pi, Pa,..., Pk не зависят от п. Лобой рекуррентный ряд является разложетием дробно-рациональной функции от z. Дія доказательства заметим, в первую очередь, что такой ряд заведомо сходится для значений z с достаточно малым модулем. Действительно, из (1) следует, что \an\^Gam где ап является модулем наибольшего по абсолютной величине из предшествующих коэффициентов, а G = \pt \ 4" IPs I + • • • +1 Pk '• Отсюда следует, что I ап \ <:KGn, где К не зависит от я. Таким образом, рекуррентный ряд во всяком случае сходится для всех значений z по модулю мень-1
ШИХ
G
Но если мы умножим ряд /(Z)=I1OnZ" иа pj.z, p2zs, pkzb и сложим результаты, то получим новый ряд, в котором все коэффициенты после {k—1)-го обращаются в нуль, в силу соотношения (1). Таким образом,
(l+Plz + р1г» 4-...4- pkzk) f (z) = P0 + P1Z + ... 4- P^1Z*"1,
1
Сходимость бесконечных рядов и несобственных интегралов 395
где P0, P1, Pk-i—постоянные. Многочлен
1 + Л2 + Ра*2 + • • • + PftZ*
называется производящим многочленом рекуррентного ряда*).
Из известных результатов, относящихся к разложению дробио-рациоиаль-
Д
ных функций на сумму многочлена и простейших дробей вида ^_^ и
из биномиальной теоремы для отрицательного целочисленного показателя •следует, что любая дробно-рациональиая функция, знаменатель которой не делится на г, может быть разложена в степенной ряд, сходящийся для всех значений z с достаточно малым модулем, а именно, для | z \ <. р, где р является наименьшим модулем корней знаменателя (см. гл. IV, Разные примеры, 26 и сл.). Обращая приведенные выше рассуждения, мы видим, что этот ряд будет рекуррентным. Таким образом, для того чтобы степенной ряд был рекуррентным, необходимо и достаточно, чтобы он являлся разложением дробно-рациональной функции с знаменателем, не делящимся на z.
