Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
тс/а гс/г
Jsin тх . С sin тх , -ах, I -.-dx X J sin X о и
Сходимость бесконечных рядов и несобственных интегралов 371
J
{x+a)Y х — Ь Ya + °
[Положить X — b = t*.] ' 19. Если
(Экз. 1909 г.)
о
где й>0, то (2я+1)/„ = 2яа*/я_1.
In= J(a2—x2)"rfx,
(Экз. 1934 г.)
[Заметим, что
а а
In = J (а2 —лг2)" -jLxdx = 2п J лг2 (а2 — л;2)"-1 dx = 2п(аЧп_х — In).
о о
Этот результат может быть использован для вычисления /„, когда п —• положительное целое число. Подстановка X = a cos 9 приводит In к интегралу из примера LXVI. 10.]
20. Показать с помощью подстановки x = -j--, что если /ни оба
положительны, то
OO 1
ldt
j (i-f-xy-"* j
о о
24»
являются обычными определенными интегралами, если подинтегральиым функциям приписать при х = 0 значение т.]
14. Замена переменного и интегрирование по частям. Формулы преобразования интегралов подстановкой и интегрированием по частям могут быть, конечно, распространены и иа несобственные интегралы второго рода. Читателю рекомендуется самому сформулировать соответствующие общие теоремы (см. п. 186).
15. Доказать интегрированием по частям, что если s>0, *>1, то
1 1
J^-1O-х)*~1 dx = LzL J х5(1—х)(~Ых. о о
j, 16. Если s>0, то
1 оо
о і
[Положить X = L . ]
17. Если О < s < 1, то
1 OO OO
о oo
18. Если а + Ь > 0, то
OO
dx г.
372 Глава восьмая
dt.
22. Доказать, что
ь ь
С_dx__г С_xdx___lr(a_j_M
J у\х—а)(Ь — х) "' Jy (х — а)(Ъ — х) 2"^+
I0c помощью подстановки х = а-\-(Ь— а) Р, 2° с помощью подстановки b_X
-= t и 3° с помощью подстановки х = a cosH 4- Ъ sin21.
X— а '
23. Доказать, что если р и q положительны и
S(P, Ч) = § хР-Ч\-х)Ч-Ых,
о то
/<р + 1,?)+/(р,? + 1)=/(р> я), qf(p + i, й=р/(р,? + 1)-
Выразить f(pAr 1, q) и f (р, q-\-1) через f (р, q) и доказать, что
,. .___(я — 1)!_
/{й И)-р(р-Ы)...(р + „_1)'
J де п — положительное целое число.
(Экз. 1926 г.)
24. Вывести формулы
О
it/s
f-—- = ? П (а cos» Є + * ein» Є) do.
J У (x—a)(b — x) Jf
a ' 0
25. Доказать, что
2
P cfx I
J (х+1)Ух^ї~Уз'
(Экз. 1930 г.)
26. Доказать, что
л
J (1+Х)(2+х)Ух1Г^х)С= "\У2 у€}'
(Экз. 1912 г.)
({Положить x = sin* 6 и применить результат примера LXIII. 7.]
pt
21. Показать с помощью подстановки х = —~.—что если /, т и р положительны, то
1 1
Сходимость бесконечных рядов и несобственных интегралов 373
У = J* (лг2 — блг + 13) dx.
Непосредственным вычислением мы находим, что У = 48. Сделаем теперь подстановку
у = х* — 6х + \3,
которая дает х = 3±У у— 4. Так как при х=\, у = 8, и при х = 7, у = 20, мы как будто приходим к результату
20 20
, С dx . ^ 1 f ydy
Неопределенный интеграл равен
\г(У-4)3/2 +4(y_4)l/i,
и мы получаем значения, из которых ни одно не соответствует действительности.
Для того чтобы понять, почему мы получили неправильный результат,
рассмотрим внимательнее соотношение между х иу. Функция у = лг2— блг -4-13
имеет минимум прилг = 3, который равен 4. Когда х возрастает от 1 до 3,
«- о л dx
у убывает от 8 до 4, и ~т— отрицательна, так что
У dx____1
Когда x возрастает от 3 до 7, у возрастает от 4 до 20, н следует взять другой знак. Таким образом,
7 4* 20
J= J уdx=f {- -wj^r} d»+J Tv^=T dy'
1 8 V * 4 Г У
и легко убедиться в том, что эта формула ведет к правильному результату. Аналогично, если мы преобразуем интеграл
J
dx=*
с помощью подстановки х = arc siny, мы должны учесть, что производная
dx _і/ „і/
равна (1—у-) /s или —(1—у2) 3,в зависимости от того, будет ли
0 x < -j- ¦k или -у- г, < x ^ я.
Пример. Проверить результаты преобразования интегралов 1 %
J* (4лг2 — х A- - A-j dx, J cos2 x dx
о о
с помощью подстановок 4лг2 — Х-\--щ-=у и соответственно лг = агсвщу.
189. Замена переменных иногда требует некоторой осторожности. Допустим, например, что
O74
Глава восьмая
190. Ряды, содержащие положительные и отрицательные члены. Наше определение суммы бесконечного ряда и значения несобственного интеграла как первого, так и второго рода, применимы к рядам, члены которых могут иметь любой знак, и к интегралам от функций, меняющих знак в интервале интегрирования. Но те специальные признаки сходимости или расходимости, которые мы установили в первой части настоящей главы, и примеры, которыми мы их иллюстрировали, относились почти исключительно к рядам только с положительными или только с отрицательными членами и к интегралам от функций, не меняющих знака в интервале интегрирования.
При рассмотрении рядов мы всегда предполагали, иногда оговаривая это, а иногда только подразумевая, что любые условия, налагаемые на ип, могут не выполняться для конечного числа членов; требуется только, чтобы такое условие (например, что члены положительны) выполнялось начиная с некоторого члена. Аналогично в случае несобственного интеграла предполагалось, что условие выполняется для всех значений х, больших некоторого значения х0, или для всех значений х из некоторого интервала (a, a -f- о), содержащего значение а, вблизи которого подинтегральная функция неограниченно возрастает (или убывает). Так, например, наши признаки применимы к таким рядам, как
