Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
= lim (—1-fi))-flim (1—s) = 0.
1)->--J-0 e -«• + O
Определение может быть также применено в том случае, когда f (х) имеет колебательные разрывы, например, когда /(x) = sin —.
188. Мы можем теперь записать равенство (4) п. 186 в виде
Интеграл в правой части определен как предел при ¦s—*¦ с соответствующего интеграла по интервалу (Ь, х), т. е. как несобственный интгграл второго рода, и если ср if(t)}f'(t) обращается в бесконечность при Z= с, то интеграл — существенно несобственный. Допустим, например, что ср (х) = (1 + х)~т, где
1</и<2, а = 0, и что f(t) = і * ^ . Тогда 6 = 0, с = \, и (1) превращается в
со 1
о о
причем интеграл в правой части — несобственный второго рода.
С другой стороны, может случиться, что ср {f(t)}f (t) непрерывна при t = с. В этом случае
с
J 9 {/(O}/' (t)dt ь
368 Глава восьмая
J
ср (х) dx
был сходящимся, необходимо и достаточно, чтобы существовала такая постоянная К, что
А
J <?(x)dx<K
a -f-s
для всех положительных значений е.
Ясно, что мы можем найтн такое число А' между а к А, что ср (х) положительна в интервале (а, А'). Если ср (х) положительна во всем интервале {а, А), то мы можем в качестве А' взять просто А. Но
J* cp(x)rfx= J* ср x)dx-\-^ <f(x)dx.
Первый интеграл в правой части этого равенства возрастает с убыванием s, •и поэтому либо стремится к некоторому пределу, либо неограниченно возрастает; справедливость нашего утверждения теперь очевидна. Если условие не выполняется, то
А
ср (х) dx ->¦ оо.
— s
Тогда мы будем говорить, что
А
J ср (х) dx
а
расходится к оо. Ясно, что если ®(х)~>-оо при х—ъ а то сходимость "и расходимость к оо являются единственными возможностями для интегра та. Аналогично разбирается случаи, в котором '•»(*) —*¦ — оо. 2. Доказать, что
А
(Л — a)l~s
(к — a) sdx =
1 —s
а
лет s<l; интеграл расходится, если S^s=I.
является обычным интегралом и
X с
lim J cf {/ (*)} f_(t) dt= j* ср {/ (t)\ Г (t) dt,
b b
по следствию из теоремы (10), п. 165. Подстановка x=f(t) преобразует тогда несобственный интеграл в обычный определенный интеграл. Такой случай имеет место при т^2 в только что рассмотренном примере.
Примеры LXXVI. 1. Если <f(x) непрерывна во всех точках интервала интегрирования, кроме х=а, причем ср(х)—>-со при х—*¦ а, то для того чтобы
А
Сходимость бесконечных рядов и несобственных интегралов 369
где s < 1, то
А
J
ср {X) dx
сходится; если же ср(х)>/С(х—a)~s, где s^1, то интеграл расходится. [Этот результат является частным случаем общего принципа сравнения, аналогичного принципу, сформулированному в п. 185.] 4. Исследовать на сходимость интегралы
AAA
Г _dx_ j* _dx_ С_dx_
J Y(X-a)(A=Tx) ' J (Л — х) ^х~—-а ' J (Л — х) }ГА — х
A A AA
dx
Jdx С dx P dx Г
Y~x=a-*~ ' J f-A=x^ ' J х*-а% ' J А*~х* 5. Интегралы
1 а+\
dx
1 УХ а-1 У x-c
сходятся и равны нулю. 6. Интеграл
dx
J Y sin л: о г
сходится. [Подинтегральная функция стремится к бесконечности при х, стремящемся к каждому из пределов.] 7. Интеграл
J
dx
(sin x)s О
сходится в том и только том случае, когда s < I. 8. Показать, что интеграл
h
Jsin X j
о
где «>0, сходится, если р <2. Доказать также, что если 0</><2, то интегралы
л 2 it Зк
Jsin x . С sin X . Г sin X .
О it 2л
имеют чередующиеся знаки и убывают по абсолютной величине.
[Преобразовать интеграл от до (k~\-T)r. с помощью подстановки х = йя-|-д/.]
24 Г. Харди
3. Если ср (х) непрерывна для а < х А и
Os?cp(x)< К(х — a)-s,
370
Глава восьмая
9. Показать, что * .
Г sinx .
о
где 0<»<2, достигает своего наибольшего значения при Л = г.
(Экз. 1911 г.)
it/2
10. J* (cos x)z (sin x)m dx сходится в том и только том случае, когда о
/> — 1, 7я>— 1.
11. Такой интеграл как
OO
Г xs~ldx
1+Х *
где s<l, не подходит ни под одно из наших предыдущих определений, так как интервал интегрирования бесконечен и подинтегральная функция стремится к оо при х—v-f-0. Естественно определить этот интеграл как сумму интегралов
С Xs-1 dx С xs~ldx J 1+х +J 1+х '
в предположении, что оба эти интеграла сходятся.
Первый из этих интегралов сходится, если s > 0. Второй сходится, если s < 1. Таким образом, интеграл от О до оо сходится в том и только том случае, когда О < s < 1.
12. Доказать, что
-dx
сходится в том и только том случае, когда 0<s<?. 13. Интеграл
со О
сходится тогда и только тогда, когда О < s < 1, 0<?<;1.
[Следует отметить, что подинтегральная функция не определена пре X= 1. Но
xs-i_xt-i
-j--*-t-s
1 —X
при х-*-1 справа и слева, так что подинтегральная функция становится непрерывной функцией от х, если мы припишем ей значение t — s при X= 1.
Часто случается, что подинтегральная функция имеет разрыв просто в силу того, что она не определена в некоторой точке интервала интегрирования, причем этот разрыв может быть устранен соответствующим доопределением ее в этой точке. В таких случаях обычно предполагается, что она, таким образом, сделана непрерывной. Так, интегралы
