Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
354 Г лава восьмая
9 (2" -f 1) -f 9 (2" + 2) -f... + 9 (2Л+1) 2П9 (2П+І). Если 2}2Л9(2") расходится, то расходятся и ряды 22п+19(2"-н), 22П9(2П+1),
и полученные неравенства показывают, что.29 (п) также расходится. С другой стороны,
9 (2) + 9 (3) 29 (2), 9 (4) + 9 (5) + 9 (6) + 9 (7) ^ 49 (4)
и т. д. А из этой системы неравенств следует, что если 2 2П9 (2") сходится, то сходится и 29(га)> Теорема доказана.
Для наших целей область применения этого признака практически совпадает с областью применения интегрального признака. Признак сгущения позволяет Нам с такой же легкостью, как и интегральный признак, исследовать ряды 2 n~s- Действительно, 2га~* сходится или расходится в зависимости от сходимости или расходимости ]?2n2~ns, т. е. в зависимости от того, будет ли s^>l или s? 1.
Примеры LXXII. 1. Показать, что если а — любое положительное целое число, большее 1, то S <f ІЛ) сходится или расходится в зависимости от того, сходится или расходится S <*"<P (<*")•
[Применить те же рассуждения, что и в доказательстве теоремы, но группируя по а, а1, а8, ... членов.]
2. Если S 2яср (2я) Сходится, то Hm 2"ср (2") = 0. Вывести отсюда теорему Абеля из п. 179.
183. Дальнейшие признаки, основанные на отношениях. Если Un = n~s, то, по теореме Тейлора,
ff2±L = (і ГГ'== 1 - - 4- ^=U-(1 -І- "2-"п V^n) 1 п і 2я2 \ >п)
где 0<[б<^1, и, таким образом,
182. Признак сгущения Коши. Второй из упомянутых в п. 178 признаков гласит: если йл = ср(га) является убывающей, функцией от п, то ряд
23 9 (я)
сходится или расходится в зависимости от того, сходится или расходится ряд
2 2"ф (2й).
Мы можем доказать это с помощью рассуждения, которое уже однажды применялось при рассмотрении ряда 2 п~1 (см- п- 77). В первую очередь, мы имеем:
9(3) + 9(4)^29(4),
9 (5) + 9 (6) + 9 (7) + 9 (8) ^ 49 (8),
Сходимость бесконечных рядов и несобственных интегралов 355
Я I \ я8
я 1 \Я' Допустим теперь, что
я 1 \п-) к '
Если а>1, то мы можем выбрать s так, что l<^s<^a, и тогда
Vn ^ Un
для достаточно больших га. Но S Un сходится, и, следовательно, по признаку 4 п. 175, будет сходиться также ?i>n. Аналогично, если а<^1, то мы можем выбрать 5 так, что a<^s<^l, и доказать расходимость S Vn сравнением с расходящимся рядом E ип. Отсюда следует, что если Vn удовлетворяет условию (1), то S Vn сходится, если а^>1, и расходится, если а<^1. Случай a—1 мы должны отложить до следующей главы (пример XC 5).
Мы можем таким же путем доказать, что если (1) имеет место при любом положительном а и 0<^s<^a, то vnssКn~s, и, следовательно, Vn—»0.
Рассмотрим, в частности, так называемый „гипергерметрический"
ряд
±vn — i. , Ьї-і- i.2.T(T + i) -Г"-, W
где a, ?, y — действительные числа, причем ни одно из них не равно ни нулю, ни целому отрицательному числу. Тогда для доста-очно больших га члены этого ряда имеют постоянный знак и
р»и _(« + «)(? +и) __t 7 + 1-g-? ,о/M Vn — (1 + я)(т + я) ~ я ~ї~и\п*}-
Следовательно, ряд (2) сходится, если y ^> а ~Ь ?> и расходится^ если y <^ a -f- ?. ^ частности, ряд
,m.mjjn+l) . ' 1 ' Ь2 г¦
сходится, если т<^0, и расходится, если т^>0. Кроме того, г»л — 0, если Y>a + ? — 1-
184. Несобственные интегралы. Интегральный признакам, п. 180) показывает, что если «р(х) — положительная и убывающая функция от х, то ряд S 9 (я) сходится или расходится в зависимости от того, стремится ли Ф (х) — интеграл от 9(х) — при х—><х> к конечному пределу или нет. Допустим, что Ф(х) стремится к конечному пределу при х—>со и что
x
lim fa(t)dt = t.
lim
X
23»
356
Г лава восьмая
Тогда мы будем говорить, что интеграл
OO
^ Cp (t) dt І
сходится и имеет значение I, и будем называть этот интеграл несобственным.
До сих пор мы предполагали, что ср (t) положительна и убывает. Но представляется естественным перенести наше определение и на другие случаи, причем предположение, что нижний предел равен 1, несущественно. Таким образом, мы приходим к следующему определению.
Если ср (г) является непрерывной функцией от t для t^a и
x
Hm Гер
дг—ЮО *^
а
то мы будем говорить, что несобственный интеграл
со
J 9 Ф dt
а
сходится и имеет значение L С другой стороны, если
x
J ср (г) dt гоо,
а
то мы будем говорить, что интеграл расходится к оо, и аналогичное определение вводится для расходимости к —-со. Наконец, если ни одно из этих предельных соотношений не имеет места, то мы будем говорить, что интеграл колеблется, ограниченно или неограниченно, при х-—оо.
В связи с этими определениями отметим следующее.
1°. Если мы положим
x
J<f(0 гіг = Ф(х),
а
то интеграл сходится, расходится или колеблется в зависимости от того, стремится ли Ф(х) при х—оо к некоторому конечному пределу, К OO (или—od) или колеблется. Если Ф(х) стремится к пределу, который MH можем обозначить через Ф(со), то значение интеграла равно Ф(со). Вообще еслиФ(х) — любой интеграл от tp(x), то значение рассматриваемого иесоб Ствеииого интеграла равно Ф(оо) — Ф(а).
