Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
5. Вычислить
о о
364 Глава восьмая
Предположим теперь, что ? —>оо. Тогда если любые два из трехчленов этого равенства, зависящих от \, стремятся к пределам, то стремится к пределу и третий, и мы получаем соотношение
OO оо
(*/(*) І (*) dx = lim f(t) ср (6) —/(а) ср (а) — f/' (*) ср (*) d*.
а а
Аналогичные формулы имеют, конечно, место и для интегралов от ¦— OO до со.
Примеры LXXV. 1. Показать, что
OO OO
Г X . 1 i' dx 1
о о
2. Если м и я—1 —положительные целые числа и
со
. _ Г Xя» ^X
о
то (»г+я —1)/ш,„ = «/т _ і,,,. Вывести отсюда, что
/я!(п — 2)! т,я~(л! + л-1)|-
3. Доказать, что
T V* dx = L + Lr.
[Полагая х = ^2, мы получим:
00 со
1 1,
Дальше интегрировать по частям.]
4. Доказать интегрированием по частям, что если Un обозначает первый интеграл из примера LXXIV. 5, и я > 1, то
(2п — 2) Un = (2й — 3) ип _ і; вычислить отсюда и„. (Зкз. 1935 г.)
[Заметить, что
СО OO
_ (' X-UX _ 1 і* d ( 1 IdI
««-і «я — J ^T+W 2(л-1) J Х dx \ (Г+*Т_~1 і J о о
187. Другие типы несобственных интегралов. В определении определенного интеграла в гл. VII мы предполагали, что (1) интервал интегрирования конечен и (2) подинтегральная функция непрерывна.
Однако можно распространить понятие „определенного интеграла" на многие случаи, в которых эти условия не выполняются. Напри-
Сходимость бесконечных рядов и несобственных интегралов 365
мер, несобственные интегралы, рассмотренные в предыдущих пунктах, отличаются от определенных интегралов гл. VII тем, что интервал интегрирования бесконечен. Теперь мы предположим, что не выполняется условие (2). Наиболее важным случаем является тот, в котором ср (jc) непрерывна в интервале интегрирования (а, А), за исключением конечного числа значений х, скажем х = llt t>,..., причем cp(jc)—>oo или cp(jc)—> — do при стремлении X справа или слева к каждому из этих значений.
Очевидно, достаточно рассмотреть случай, когда интервал (а, А) содержит только одну такую точку ?. Если таких точек более одной, то мы можем разбить интервал (а, А) на конечное число интервалов, каждый из которых содержит только одну такую точку; определив значение интеграла по каждому из этих частичных интервалов, мы можем определить интеграл по всему интервалу как сумму интегралов по частичным интервалам. Далее, мы можем предположить, что точка разрыва ? совпадает с одним из концов интервала (a, A)1 так как если % лежит между а и Л, то мы можем определить
А
как
J 9{x) dx
а
А
j ср {х) dx -J- J 9 (jc) dx,
после того, как каждый из этих интегралов определен. Мы можем, таким образом, принять, что \ = а; совершенно очевидно, как нужно изменить наши определения в том случае, когда і = А.
Предположим, стало быть, что у(х) непрерывна в интервале (а, Л), за исключением точки x = а, причем 9(Jc)—*со при х—+а справа. Типичным примером такой функции является
4(x) = (x-CL)-*,
где s>0; или, в частности, если а = 0, op(x) = x~s. Посмотрим, как можно определить
(D
когда s^>0. Интеграл
о
VA
сходится, если s<^l (см. п. 185) и означает
Hm I ys~* dy.
366 Глава восьмая
Но подстановка У = — показывает, что
Jy5 2 dy = j X s dx.
Таким образом,
VA 1Л)
Л
Hm j x~s dx
Гі—.со у
' 1/1
или, что то же самое,
А
Hm I x~s dx
1 є
существует, если 5<^1; значение интеграла (1) естественно определить как значение этого предела. Аналогичные рассмотрения приводят нас к определению
J (х-аГ
dx
с помощью равенства л
і (х — a) s dx = \\m і (х — a)~s dx.
J s-.+0 J
a a-fe
Таким образом, мы приходим к следующему общему определению: если интеграл
А
J ср (л:) dx
a-f-e
стремится к пределу I при є—*-j-0, то мы будем говорить, что интеграл
dx
сходится и имеет значение I.
Аналогично, если у(х)—»оо при х стремящемся к верхнему пределу А, то мы определяем
А
J ср (х) dx
а
как
A-
Hm і cp(x)dx,
є-.4-0 •J а
1
Сходимость бесконечных рядов и несобственных интегралов . 36?
и тогда, как мы уже видели, можно распространить наши определения на тот случай, когда интервал (а, А) содержит любое конечное-число точек бесконечности функции ср(лг).
Интеграл от функции, стремящейся к оо или — оо при стремлений X к некоторому значению или значениям в интервале интегрирования, называется несобственным интегралом второго рода; несобственный интеграл первого рода — это интеграл по бесконечному интервалу, рассмотренный в п. 184 и сл. Почти все замечания 1°—7° в конце п. 184 применимы и к несобственным интегралам второго рода.^ч- і
Сформулированные нами определения относились к функциям, стремящимся к бесконечности при частных значениях х, но эти определения применимы и к разрывам других типов. Так, если f(x) =— 1 для—1^х<0^. /(0) = 0, f (х)=1 для 0<Х==С1, то
1
означает —Ч і
lim I f(x)dx-\- Hm I f(x)dx =
т. —-t-0 J *-»+© J
' — 1 е
