Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
а этот ряд расходится, гак как его члены не меньше соответствующих членов следующего ряда:
1 + 1.1 + LA + Li +
+ 2 2^3 2^4 2 ^ ' который расходится. Но леї ко видеть, что члены ряда
і+1 .J+L I + LA + LI+Ll + ...
+ 2 2^3 З ґ З 4Г1 5^4 (M удовлетворяют условию пип -> 0. Действительно, пип = А г когда 2V~~2< л s? 2Ч~1, и ч-*-оо при й-*-со.]
180. Интегральный признак Маклорена (или Коши)J). Если и„ Монотонно убывает с возрастанием п, то мы можем записать Un В виде ср (я) и предположить, что <р(П) есть значение при х = п некоторой непрерывной и монотонно убывающей функции Cp (х) от непрерывного переменного х. Тогда, если v — любое положительное целое число, имеем:
9(V-I)Sa <р (X) 55? (V) для v—1 sex^v. Пусть
Vi=tp (у— 1)—- J cp(x)dx= j {9(V-I)-Cf(X)JdA;,
1 — 1 V — 1
') Этот признак был найден Маклореном и затем вновь открыт Коши, Которому он часто приписывается.
Сходимость бесконечных рядов и несобственных интегралов 351
іак что 0 vv =S ? (v — 1) — 9 (v).
Тогда J?fv является рядом с положительными членами и
*« + W3 + .. .-f-г»л<«р(1) —«р(л) <9(1). Следовательно, ?]г>, сходится, т. е. г».2 + г»;, + ... + г»„, или
стремится к некоторому положительному пределу, не превосходящему 9(1), когда л-*-сю. Положим
і
Ф ?) = j y(x)dx, 1
так что Ф ($) является непрерывной и монотонно возрастающей функцией от \. Тогда
11I+ 11I + • • • + ип-\ — Ф (")
стремится при п —у со к некоторому положительном}' пределу, не превосходящему ф(1). Следовательно, J?kv сходится или расходится в зависимости от того, стремится ли Ф (и) при я —» со к конечному пределу или нет. А так как Ф (и) монотонно возрастает, то ^P1W сходится или расходится, в зависимости от того, стремится ли Ф (?) при ?-»•oo к некоторому конечному пределу или к бесконечности. Таким образом, если <р(х) положительна и непрерывна для всех значений х, больших 1, и монотонно убывает при возрастании х, то ряд
9(1) + 9(2)-1-.-. сходится или расходится в зависимости от того, стремится ли
Ф (?) = J 9 (X) dx і
при ?->оо к Некоторому пределу I или нет, причем в первом случае сумма ряда не превосходит 9(1)+/.
Сумма этого ряда должна быть в действительности меньше, чем Cp(I)-J-/. В самом деле, из (6) п. 165 и гл. VII. Разные примеры, 43, следует, что v, <<f(v—1) — 9 (v); за исключением того случая, когда ср (х) == ср (ч) во вс^м интервале (ч— 1, v); но это не может иметь места для всех значений v<
181. Ряд s- Самым важным приложением интегрального признака является исследование ряда
Г5 + 2-* + 3~* + ...,
352 Глава восьмая
1
dx _ |*^f_—_1 s~~ 1— s"»
если s^l. Если s^>l, то S1 ¦*-*-() при S-*-oo и
Если же s<^l, то V-*-»-оо при u-vco, так что Ф (?)-v со. Таким образом, ряд ^n~s сходится, если s^> 1, и расходится, если ssSl,
? случае его сходимости сумма ряда меньше .
Мы могли бы, конечно, доказать расходимость ряда для s < 1 его сравнением с расходящимся рядом ? и~К
Интересно, однако, провести исследование ряда S и'1 с помощью интегрального признака. В этом случае
и легко видеть, что Ф (S)—»¦Co при S-*-оо. Действительно, есля S > 2", то
2л 2 4 2"
. f dx Г dx , Г dx . , f гіл-
1 1 2 2n—1
Но полагая at = 2?, найдем, что
2'+1 2
Г d? — Г 0I'
и, таким образом,
і
откуда следует, что Ф (S)—*-со при ?—*-оо.
Примеры LXXL 1. Рассуждением, аналогичным проведенному выше, и без интегрирования доказать, что
г
Ф(.
і
где s < 1, стремится к бесконечности при S—>-оо.
где s — любое рациональное число. Мы уже видели (см. п. 77 и примеры LXVIII. 15 и LXX. 1), что при 5=1 ряд расходится. . Если ssSO, то ряд, очевидно, расходится. Если 5^>0, то ип убывает с возрастанием «, и мы можем применить интегральный признак. В данном случае
¦Сходимость бе оконечных рядов и несобственных интегралов 353
6. Доказать, что
7. Доказать, что
8. Доказать, что
21 1,1
1
1 _ \1 а 1
2 '" < Zi а8 + п- < 2
1
(Экз. 1909 г.)
2т/"л-2<-^4-^-4...4-4=<2"|/"и-Ь
(Экз. 1911 г.)
9. Ести 9 (л)—v/>I, то ряд
V д- ? (я)
сходится. Если 9 (л)—»-/<1, то ряд расходится.
10. Доказать, что если а>0, Ь>0 и 0<s<l, то
і (л) = (а 4- 4- (а 4 2*)-* 4 ... 4 (а + и*)-* — ^±^1
b(\-s)
стремится к некоторому пределу Л, когда л—>-со. Доказать также, что •і(л) — і (и —1)= О («-s_1), и вывести отсюда, что 4(й) = Л-(- О («~s).
(Экз. 1926 г.)
23 Г. Хард^
2. Ряды
Zti~% S«_3/a, S«-11/10 сходятся, и их суммы не превосходят соответственно 2, 3, 11. Ряды
Sn-1/,, ^n-1V11
расходятся.
3. Ряд
V nS
ZdU1 -f а'
где а>0, сходится, если ^>s+l, и расходится, если rf^s + l. [Сравнить с vns-*.]
4. Исследовать сходимость ряда
V aln^ + a*nSi + • • - + д*дД* — + *У* + ... + Ьгп'ї~'
где все буквы обозначают положительные числа, и показатети SH^ рациональны и приведены в убывающем порядке.
5. Доказать, что если т > 0, то
от2 (ш + l)a ^ (/я -f 2)a "' ^ /я3 "
