Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
.384
Глава восьмая
Сходимость абсолютно сходящегося ряда можно также вывести непо-хредственно из общего признака сходимости (ср. пример LXXVII. 1). Это ми оставляем читателю в качестве упражнения.
198. Степенные ряды. Одной из наиболее важных частей теории •обычных функций элементарного анализа (таких как синус, косинус, логарифмическая и показательная функции) является их разложение в ряды вида ?апха. Такой ряд называется степенным рядом относительно х. Мы уже встречались с несколькими разложениями в ряды такого вида в связи с рядами Тейлора и Маклорена (см. п. 152). Однако там мы рассматривали только действительное переменное х. Здесь мы рассмотрим некоторые общие свойства степенных рядов относительно z, где z — комплексное переменное.
А. Степенной ряд 2 ^n2" может сходиться для всех значений z или только для значений из некоторой области, или ни для одного значения z, кроме z = 0.
Достаточно привести по одному примеру для каждого случая.
1. Ряд 7 — сходимся для всех значений г. Действительно, пола-
жаково бы ни было значение г. Следовательно, по признаку Даламбе-Ра> S I ип I сходится для всех значений z и исходный ряд абсолютно сходится
.для всех значений г. Дальше мы увидим, что если степенной ряд сходится, то он будет, вообще говоря, абсолютно сходящимся.
2. Ряд ? я! г" не сходится ни для одного значения г, кроме г = 0.
-Это следует из того, что
где un = л!г" стремится к оо при я->оо, если только гфО. Следовательно (см. примеры XXVII. 1, 2, 5), модуль л-го члена ряда стремится коо •при я—»-оо. Таким образом, ряд не может сходиться ни при одном значении z, кроме 0. Ясно также, что любой степенной ряд сходится при z = 0.
3. Ряд 2 г" сходится для всех г, для которых \ z | < 1, и расходится для всех z, для которых |г|^1. Это было доказано в п. 88. Таким образом, мы имеем примеры для каждого из трех возможных случаев.
199. В. Если степенной ряд ^anZ4 сходится для некоторого значения z, скажем Z1 = T1 (cos O1 -j- / sin O1), то он сходится абсолютно для всех значений г, для которых \z\<^rv
Действительно, Так Как ? UnZ1 сходится, то Hm CLnZ1 = 0,
и, следовательно, мы можем найти такое число К, что \anz1 \<^К 'для всех значений л. Но если \z\ = r<^rv то
гп
гая un= —, найдем, что
(я-Ы)1*!,
'Сходимость бесконечных рядов и несобственных интегралов 335
И утверждение вытекает из сравнения со сходящейся геометрической прогрессией 2
Другими словами, если ряд сходится в точке Р, то он абсолютно сходится во всех точках, расположенных к началу координат ближе, чем Р.
Пример. Показать, что утверждение остается в силе даже в том случае, когда ряд ограниченно колеблется при z = z1. [Если is„ = (z0-f-(z1z1 -\--j-... -f-a„z.n, то существует такое К, что \sn\<.K для всех значений п. Но
I ад" і = |s„—s„_i і =ss і sn і + \s„.i i;< iK,
и доказательство заканчивается как в основном случае.]
200. Область сходимости степенного ряда. Круг сходимости.
Пусть Z= г—любая точка на положительной действительной полуоси. Если степенной ряд сходится при Z= г, то он сходится абсолютно во всех точках внутри круга j z I = г. В частности, он сходится для всех положительных действительных значений Z, меньших г.
Разобьем теперь все точки г положительной действительной «олуоси на два класса, а именно, на класс значений, при которых ряд сходится, и на класс значений, при которых ряд расходится. Первый из этих классов всегда содержит по крайней мере одну точку z=0. Второй класс может и не существовать, так как ряд может сходиться для всех значений z. Предположим, однако, что этот второй класс существует и что первый класс содержит другие точки, кроме z = 0. Тогда ясно, что каждая точка первого класса расположена левее каждой точки второго класса. Следовательно, существует точка, скажем точка z = R, которая разделяет эти два класса; сама эта точка может принадлежать к любому из них. Тогда ряд _
абсолютно сходится во всех точ- О ках внутри круга \z\<^R.
Допустим, что этот круг пересекает OX в точке А (фиг. 47)
и что P—некоторая точка внутри Фиг. 47
него. Мы можем провести круг
с центром в О радиуса, меньшего R, содержащий точку Р; пусть этот круг пересекает OX в точке Q. Тогда ряд сходится в точке Q и, следовательно, по теореме В, сходится абсолютно в точке Р.
С другой стороны, ряд не может сходиться ни в какой точке P' те круга радиуса R. Ибо если бы он сходился в точке P', то он сходился бы абсолютно во всех точках, расположенных к О ближе,
25 Г. Харди
386
ГЛава восьмая
чем P'. Но это невозможно, так как ряд не сходится ни в одной точке между А и Q'.
До сих пор мы исключали случаи, в которых степенной ряд (1) не сходится ни в какой точке положительной действительной полуоси (кроме Z = O) и (2) всюду абсолютно сходится. Таким образом, мы получаем следующий результат: степенной ряд может-либо
(1) сходиться при z = Q, но не сходиться ни при каком другом значении z, либо
(2) сходиться абсолютно для всех значений z, либо
