Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
I (-1)" і (я + а)"
где а > 0, сходится абсолютно, если s > 1, сходится условно, если 0 <; s :? 1 и колеблется, если s =?10.
3. Сумма ряда из п. 195 заключена между Sn и sn+i для всех значений п. Ошибка, допускаемая при замене суммы всего ряда суммой его первых я членов, по абсолютной величине не превосходит модуля (я-{-1)-го члена, ряда.
4. Рассмотрим ряд
V J-I)"
Zi Y п + (— і)"'
который мы предполагаем начинающимся с члена, соответствующего п = 2 (во избежание осложнений, связанных с определением первых членов). Этот ряд может быть записан в виде
Zd L і Y п+{ — if Yn і Y п J
или
Ул я + (— 1)"У я і
Ряд ?ЛП сходится, но ряд ?Хл расходится, так как все его члены положительны и lim njn=l. Следовательно, исходный ряд также расходится, хотя он и. имеет вид 9a — 93 + 9*— ••• , гДе <рп -* 0. Этот пример показывает, что условие монотонного стремления <р„ к нулю существенно для справедливости теоремы. Читатель легко проверит, что
YznT —1 < V^n + 1,
так что это условие в данном случае не выполняется.
5. Если условия теоремы из п. 195 выполняются, за исключением того, что <рл монотонно стремится к некоторому положительному пределу /, то ряд ? (— 1)" 9„ ограниченно колеблется.
6. Ряд
2(—1Yi д(а+1) •-• (а + я+1) ^ ' b(b+l) ... (b + n + l) '
380 Глава восьмая
Но
3"г"'^4и — 1 2 4 •*' 2я~
_ , 1 _,_ 1 , , 1 — Sa" + 2«4-'l+2«4-3+ '•* + 4я — Г
1т[ъГ+^~ЬГ+^ + 21Г+з~----^Ш=Т~4п] = 0'
так как сумма членов, заключенных в скобки, меньше ук—, ., ,п—г-т^Г
(2«4-l)(2«4-2)
кроме того,
я 2
,. , 1 1 . 1 \ 1 1 1 1 (' dx
hm f
17и L 7 1 7я.І_Л. 1 1 іи / V и /і
r=1 1-1--Г" 1
по пп. 161 и 164. Следовательно,
lim г
f
и, таким образом, сумма ряда (1) равна не s, а правой части последнего равенства. Ниже мы приведем значения сумм обоих рядов (см. п. 220, пример XC 7, и гл. IX, Разные примеры, 19).
Можно даже доказать, что условно сходящийся ряд может быть так переставлен, чтобы он сходился к любой заданной сумме или расходился к со или к — оо. По поводу доказательства этого предложения мы отсылаем читателя к книге Бромвнча: Bromwich, Infinite series, 2nd edition, стр. 74.
где ни а, ни Ь не равны ни 0, ни отрицательному целому числу, сходится в том и только в том случае, когда а < Ь.
(Экз. 1927 г.)
[Обозначим этот ряд через ? (— 1)" <?п и предположим сначала, что а и й-положительны. Если a ^b, то <?n+i "?я> и Чп не стремится к нулю. Если а < Ь, то (Jin+1 < <р„, и <р„ -»0 (см. п. 183), так что условия теоремы выполнены.
В общем случае мы можем найти такое Af, что a' = a-{-Nh b' = b-\-N оба положительны; тогда <$>„- будет отличаться только постоянным множителем ОТ &n~N> где
_q'(a' + l) ••- (а' + я+І) 1 •" — o'(o'4-i) ... (й-+ и+ і) 'j
7. Изменение суммы условно сходящегося ряда перестановкой его-членов. Пусть s будет сумма ряда
2 + 3 4 + * '
и ssn — сумма его первых 2п членов, так что lim ss„ = s. Переставим ряд следующим образом:
где за двумя положительными членами следует один отрицательный. Если через ts„ обозначить сумму первых Зи членов этого нового ряда, то
Сходимость бесконечных рядов и несобственных интегралов 381 8. Ряд
1.1.1 1 .
УЗ" У2 ^У5 J/"7 У4 расходится к со.
[Здесь ^ ^
4я=5ал+уЩл+ V^tI+ "• + yl^=! >S2n+ yfcr
ГДЄ Son = 1--T= Л--T= — •¦•--T= у чт0 СТреМИТСЯ К Пределу При П ->CO.]
]/ 2 ]/3 У 2л
196. Признаки сходимости Абеля и Дирихле. Приведем более общий признак, содержащий признак из п. 195 как частный случай.
Признак Дирихле. Если <р„ удовлетворяет тем же условиям, что и в п. 195, a Y1On является любым рядом, который сходится или ограниченно колеблется, то ряд
Сходится.
Читатель легко проверит тождество
«о<Ро + «l<Pi + ••• + «я<Рп = — S0 (<Ро — <Pi) + S1 (<рі —• <р,) + ... + S„_, (Cpn-1 — tf>„) + S„tp„,
где s„ = «o + «i + •»• + «л- H° РЯД
(<fo —<Рі) + (<Рі —<Р»)+ •••
сходится, так как сумма его первых л членов равна ср0— сря, a Hm <рп = 0, причем все его члены положительны. Кроме того, поскольку ряд San сходится или ограниченно колеблется, мы можем иайти такую постоянную К, что Is4KZC для всех значений v. Следовательно, ряд
S sv (<рч— <pv+1)
сходится абсолютно и
So (<Ро — <Pl) + S1 (<рі — Cp2) + .. . + S„_, (<ря_, — ср„)
стремится к конечному пределу при я-»со. Наконец, ср„, а значит и s„<?m стремится к пределу 0; поэтому
«о<Ро + «l'fl + ••• +впЧп
стремится к конечному пределу, т. е. ряд ? ачсрч сходится.
Признак Абеля. Существует еще одни признак, принадлежащий Абелю, который хотя и применяется реже, чем признак Дирихле, ио в некоторых случаях оказывается весьма полезным.
Допустим, что <f„ является, как в признаке Дирихле, положительной и убывающей функцией от п, ио что ее предел при я-» со не есть обязательно нуль. Таким образом, мы предполагаем меньше относительно срп, ио зато должны предположить больше относительно ? ап, а именно, что этот ряд сходится. Тогда мы имеем следующую теорему: если сря — положительная и убывающая функция от л и ряд ? ап сходится, то 2 аяср„ также сходится
