Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
Сходимость бесконечных рядов и несобственных интегралов 377
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если ^un сходится, но ? | и„ \ расходится, то-исходный ряд называется условно сходящимся.
В первую очередь, заметим, что если 2ЦЯ сходится условно, то ряды S1Pn. JjWn из п. 191 должны оба расходиться к оо. Они не могут быть оба сходящимися, так как это повлекло бы за собой сходимость SCfn-T-Wn) или ?a/r А еслИ бы один из них> скажем, ^1Wn, сходился, а другой, ?vn, расходился, то из равенства
лг лг
2un=2vn-2wn (1>
ООО
при N->oo следовало бы, что ?ип расходится, что противоречит предположенной сходимости ?и„.
Следовательно, оба ряда ?vn и ^wn расходятся. Из предшествующего равенства (1) ясно, что сумма условно сходящегося ряда является пределом разности двух функций, каждая из которых стремится к бесконечности при й->-оо. Ясно также, что условно, сходящийся ряд уже не обладает тем свойством рядов с положительными членами (см. пример XXX. 18) и всех абсолютно сходящихся рядов (см. пример LXXVII. 5), что любой ряд, составленный: из части его членов, будет сходящимся. Представляется также весьма вероятным, что условно сходящиеся ряды не обладают свойством» составляющим утверждение теоремы Дирихле; во всяком случае-доказательство, приведенное в п. 192, здесь совершенно непригодно,, так как оно существенным образом использует сходимость ^vn и. ^wn. Вскоре мы увидим, что наше предположение действительно правильно, т. е. что теорема Дирихле не может быть распространена, на условно сходящиеся ряды.
194. Признаки сходимости условно сходящихся рядов. Нельзя, ожидать, что мы сможем найти столь же простые и общие признаки условной сходимости, как признаки, установленные в п. 173 и сл. Формулировка признаков сходимости оказывается, естественно, более трудной, если сходимость ряда имеет место, как это показывает-равенство (1) п. 193, по существу, за счет взаимного сокращения, положительных и отрицательных членов ряда. В первую очередь, не существует признаков условной сходимости, основанных на сравнении рядов.
В самом деле, допустим, что мы хотим вывести сходимость ряда ?vn из сходимости ряда ^un. Мы должны сравнивать
«• + ? + - • « + «я и U0J-U1+. . .J-Un.
Если бы каждое и и каждое v было положительно и (а) каждое v было меньше соответствующего и, то мы сразу заключили бы, что
*»o + *i + - • • + »¦Oe + »!+« • - + "«.
.378
Глава восьмая
т.. е. что J^vn сходится. Если бы только к были положительны ш (Ь) каждое V по модулю было бы меньше соответствующего к, то мы заключили бы, что
Kl + I^i! + - • • + 1«UOe-I-b1+. . . + hn,
т. е. что '^vn абсолютно сходится. Но в общем случае, когда и и й V имеют произвольные знаки, мы можем из (Ь) только заключить, что
Pol+ Kl + - • • + 1^nKI2U + !«і 1 + . • • + 1«U»
.Это соотношение дало бы нам возможность заключить абсолютную сходимость ^vn из абсолютной сходимости ^un; но если известно, 'что 2мп сходится только условно, то мы вообще не можем сделать .никакого заключения.
Пример. Дальше мы увидим, что ряд 1—y-f--^- —-^-+... сходится, -о 1 і 1 , 1 , 1 ,
Но ряд у + "^+^ + -^- + - • • расходится, хотя каждый его член меньше .абсолютной величины соответствующего члена первого ряда.
Поэтому вполне естественно, что те признаки, которые мы сможем получить, будут иметь значительно более частный характер, чем признаки, приведенные в первой части настоящей главы.
195. Знакочередующиеся ряды. Простейшими условно сходящимися рядами являются так называемые знакочередующиеся ряды, т. е. ряды, члены которых поочередно положительны и отрицательны. Условия сходимости этого весьма важного типа рядов содержатся в следующей теореме.
Если 9 (я)— положительная функция от п, монотонно стремящаяся к нулю при я—»-со, то ряд
9(0)-9(1) + 9(2)-...
¦сходится, и его сумма заключена между 9(0) и 9(0) — 9(1)*). Будем писать <р0, <рх, ... вместо 9(0), 9(1), ... и положим
sn = 9o — Фі + Фа — ••• +(— If фп-
Тогда
s2n+i — sin-i = Фа» — Ф-2Я+15г 0, s2n — s2n_2 = — (92n_j — 92n) eg 0. Следовательно, s0, s2, S1, s.2n, ... образуют убывающую после-
довательность, которая поэтому стремится либо к некоторому конечному пределу, либо к—оо, a s1, s3, ... , s2n+i, ... образуют возрастающую последовательность, стремящуюся либо к некоторому конечному пределу, либо к со. Но
Hm (s2n+1-s2n) = Hm (— 1)'2я+1 92n+i = О,
*) Эта теорема иногда называется теоремой Лейбница о знакочередующихся рядах. (Прим. перев.)
Сходимость бесконечных рядов и несобственных интегралов 379
откуда следует, что обе последовательности должны стремиться к конечным пределам и что эти пределы должны быть равны. Это значит, что последовательность
стремится к конечному пределу. Так как s0 = cp0, S1 = Cp0—ерх, то ясно, что этот предел заключен между ср0 и ср0-Cp1.
Примеры LXXVIII. 1. Ряды
+ i_ 1 ¦ 1 1 ¦
2-г3 -4--г-.-, уу^у'з"
(-і)" у (-і)" у (-і)" у (-і)"_
п + а' Алушта' ^V'H + V^' ^ (Vn + V*)* '
где а>0, сходятся условно. 2. Ряд
