Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
что легко доказывается методом индукции (независимо от того, целочисленно т или нет).]
Сходимость бесконечных рядов и несобственных интегралов 339
да»
8. Если
C(z)= 1_|-+^-..., S(z) = z-L- + L--...,
то
С (г + z') = С (г) С (г') — S (г) S (z'), S (z + z') = S (z) С (z') + S (z') С (г)
(С (z)P+{S (z)P=L
9. Случай, когда теорема об умножении рядов не имеет места. Эта
теорема не всегда имеет место, если ? ип и 2 Vn не являются абсолютно сходящимися. В этом можно убедиться, рассматривая ряды, для которых
ип = Vn — —к--'--
Тогда
»„=(-!)« 2
^у-(г+1)(п+1-г)
Но У"(г + 1) (п + 1 —г) Sg; -і- (л + 2) и, следовательно,
, 2л + 2
л + 2 '
что стремится к 2, так что ряд ? да„ заведомо не сходится.
203. Абсолютно и условно сходящиеся несобственные интегралы.
Для интегралов существует теория, аналогичная развитой для рядов в п. 191 и сл.
6. Доказать умножением рядов, что если
/(«,,)=1+(^),+ (*),- + ...
и I z I < І, то /(m, ,)/(«', z)=f(m + m', z).
[На этом равенстве основывается доказательство Эйлера биномиальной теоремы. Коэффициент при z" в произведении равен
>(")(.-.)+(")(.-.)+--Ч-.)(Г)+(::
что является многочленом относительно т и от'. Когда т и т' — положи-
/ /и + т'\
тельные целые числа, этот многочлен должен привестись к I \ )
(в силу биномиальной теоремы для положительного целочисленного показателя). Но если два таких многочлена равны друг другу при всех положительных целочисленных т и т', то они должны быть тождественны.]
7. если /(2)=1 + z+-?j-+..., то f(z)f(z')=f(z + z').
[Ряд для /(z) абсолютно сходится при всех значенияхz; легко видеть, что если
— zn _
"я - „, . »я- „, ,
то
(z + z')" .
390
Глава восьмая
Несобственный интеграл
со
ff WdX (1)
а
называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл
со
J|/(*)|<ir. (2)
а
Мы можем определить g(x) и Н(х) с помощью равенств
f(x) = g(x)—h(x), \f(x){ = g(x)+h(x).
Тогда g(x) равна f(x), если f(x) положительна, и равна 0, если f(x) отрицательна, а п(х) равна 0, если f(x) положительна, и равна /(х), если f(x) отрицательна, так что g(x) и h(x) соответствуют vn и Wn п. 191. Ясно, что g(x)^0, It(x)^zO и что g(x) и Л(х) непрерывны, если f(x) непрерывна.
Далее, так же1 как в пп. 191 и 193, следует, что интегралы
^CO со
J g(x)]dx, J h](x)dx
а . а
оба сходятся, если интеграл (2) сходится, и что они оба расходятся, если (1) сходится, но (2) расходится. Таким образом, абсолютно сходящийся интеграл является сходящимся.
Очевидно также, что если | / (х) | =? <р (х) и
со
J? (X) dx
а
сходится, то интеграл (1) сходится абсолютно.
Если (1) сходится, но (2) не сходится, то говорят, что интеграл (1) сходится условно *). В настоящей книге мы не будем часто встречаться с условно сходящимися интегралами; однако, имеется один особенно важный тип таких интегралов, который мы сейчас рассмотрим.
Допустим, что ср'(х) непрерывна, ср(х)^0, ср'(х)=<їО и что ср(х)-~0 при х-*оо. Тогда I ср'(х)| = — ср' (х) и
со со
j,|cp'(x)|dx=-Jcp'(x)dx = 'а а
X
= — lim I cp'(x)dx=lim{cp (а) — ср (ЛГ)} = ср (а),
X—ooJ Х-юо
а
со
так что Jcp' (х) dx абсолютно сходится. а
*) Или неабсолютно. (Прим. перев.)
"Сходимость бесконечных рядов а несобственных интегралов 391 'Рассмотрим теперь интеграл
со
j <р (x)cos txdx, (3)
а
где t предполагается положительным. Имеем:
X X
J*<p(x)cos txdx= Y j* у (X)-^Sm txdx =
O
sin tX
л
(X)— ^"^- 'і (a)— j JV (лг) sin txdx. (4)
Первый член стремится к 0 при Х-*оо. Далее, |sin?x|=^l, так что / f' (х) sin tx I ^ І ср' (лг) ; следовательно,
JV (х) sin
tx dx
«сходится абсолютно, а значит сходится и вообще, т. е. последний интеграл в равенстве (4) стремится к некоторому пределу при X-^ со. Отсюда следует, что и интеграл в левой части равенства (4) стремится к некоторому нределу, так что интеграл (3) сходится. Аналогично сходится и
J 9 (х) sin
tx dx.
Наиболее важным случаем является тот, в котором а > 0 и ®(x) = x~s, где s>0. Соответствующие интегралы сходятся абсолютно, если s">l, и сходятся условно, если 0<s^1.
Примеры LXXXII. 1. Интеграл
со
J' sin tx , IT*
сходится, если 0<s<2, и абсолютно сходится, если 0<s<l. [Рассмотреть отдельно интегралы от 0 до 1 и от 1 до со.]
со
2. 1 —тт.— sm X dx сходится. J X h
о (Экз. 1930 г.)
СО
-3. J -^S Х dx сходится, и притом абсолютно, если l<s<3.
о
со
JSlIl X (I — cos ---dx сходится, если 0<s<4, и абсолютно сходится,
392
Глава восьмая
если Ks<4. (Экз. 1934 г.>
со
5. J* х~ 2 sin х 1—'? dx сходится, если о заключено между ? и 2—?.
о
(Экз. 1936 г.>
[Положить X1-3 =у и рассмотреть по отдельности случаи ? < 1 а
РАЗНЫЕ ПРИМЕРЫ К ГЛ. VIII
1. Исследовать сходимость ряда
Sn* {/п~+1 — 2У"л+ 1/"»T^l},
где ?—действительное число. (Экз. 1890 г.)>
2. Показать, что
Sn' Л* (и*),
где
Дыя = ия — ыя+1, A8Mn = л (Амя)
