Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
I U 1 V + 1 V V -f 1 J V -)- 1 '
так что
я
InIMn+1I-InIH0+1K-(T« + !) 2 --р-
v=p+ 1
при я-» со. Следовательно, мя+і-~0.
Если /и =—1, то н„ = (— 1)". Если /7і-)-1<0, то I ня I возрастает при возрастании и. Доказать, что |нл|—-оо.]
207. Характер стремления In л; к бесконечности при возрастании х. В п. 98 мы определили функции первого, второго третьего,... порядков роста для больших л;. Говорят, что функция f(x)
f(x)
имеет порядок роста k, если -^- при х-*-со стремится к пределу, отличному от нуля.
Легко найти целый ряд функций, которые стремятся к бесконечности при дг-^оо все медленнее и медленнее. Таким рядом функций является, на-
г- 3 - V-
пример, X X, Ух, Ух,____ Мы можем, вообще, приписать функции лг2,
где а—любое положительное рациональное число, порядок роста а при дг-^со. Мы можем также предположить а как угодно малым, например, меньшим 0,0000001. Можно подумать, что придавая а все возможные значения, мы исчерпаем все возможные порядки роста /(лг). Во всяком случае можно было бы предполагать, что как бы медленно f (х) ии стремилась к бесконечности с возрастанием х, мы всегда можем подобрать настолько малое значение а, что Xа будет стремиться к бесконечности еще медленнее; и, аналогично, что как бы быстро f (х) ни стремилось к бесконечности с возрастанием х, всегда можно подобрать настолько большое значение а, что хР- будет стремиться к бесконечности еще быстрее.
Поведение inx опровергает все такие предположения. Логарифм от х стремится к бесконечности при возрастании х, но стремится медленнее, чем любая положительная, целочисленная или рациональная степень х. Другими словами, In л; — оо, но
при любом положительном рациональном а.
406
Глава девятая
208. Доказательство того, что х—зіпх — 0 при х—*оо. Пусть ? — любое положительное рациональное число. Тогда, *-1<<?—і для t>l и, следовательно,
С dt ^ Г dt Inx = I —< 1
і
так что
хВ-1 x?
1пх<-=-<-o-
P P
для х>1. Если теперь а положительно, то мы можем выбрать меньшее положительное ?, и тогда
„ ІП X x?—а
0 <-<- х
Xа ? -
Но Xs "~а —-0 при х —оо (так как ? < а), и поэтому
х-а1пх-*0.
209. Поведение Inx при х->--[~0. Так как х~а In X = —У 1п_у, если X= у, то из теоремы, доказанной в предыдущем пункте, следует, что
Hm _yaln_y = — Hm х 2In.х = 0.
у—*-\-о я-*4-со
Таким образом, 1пх стремится к-—оо и In-^-=— lnx к оо при х
. 1
стремящемся к нулю справа, но In — стремится к оо медленнее, чем
любая положительная, целочисленная или рациональная, степень х.
210. Шкалы порядков роста. Логарифмическая шкала. Рассмотрим еще раз ряд функций
_ з _ п _ х, Ух, ух,Ух,....
Эти функции обладают тем свойством, что если / (х) и ср (х) — любые две из
f(x)
них, то /(х)—-оо и ср(х)—оо при х—оо, и стремится к нулю или
к бесконечности в зависимости от того, расположена ли /(х) справа или слева ср(х) в этом ряду. Мы можем теперь продолжить этот ряд, приписывая к нему новые функции справа от уже имеющихся. Начнем с In х, который стремится к бесконечности медленнее, чем любая из уже написанных функций. Тогда
_ з _
У~1пх стремится к оо еще медленнее, чем 1пх, у In X — еще медленнее чем
У la X и т. д. Таким образом, мы получаем ряд
,_ 3 я _ 3 _ я-
х,\ х,\ X,..., у X,..., lnx, у 1пх,..., у In X ,..., yinx,
состоящий из двух бесконечных последовательностей, расположенных одна за другой. Мы можем продолжить этот ряд еще дальше, если введем
Логарифмическая, показат. и тригонометрические функции 407
') Более полные сведения о „шкалах порядков* роста" читатель найдет в монографии автора, цитированной на стр. 349.
*) Т. е. что неполнота логарифмической шкалы не может быть устранена добавлением какого бы то ни было числа функций, (Прим. перев.)
в рассмотрение функцию ШШлг, логарифм от 1пх. Так как х— *\ах—>0 для всех положительных значений в, то полагая х = \ау, найдем, что
(Inу)— а In 1пу = х- з In х— 0.
Таким образом, lnlny стремится к оо с возрастанием у, но медленнее чем любая степень In у. Поэтому мы можем продолжить наш ряд следующим образом:
г— з г_ 3 _
х, у х, у х,..., In х, у Inх, У\пх,
In In л:, yia\ax, У Ia In х,..., и очевидно, что вводя функции In In In х, In In In In X и т. д., мы можем продолжить этот ряд как угодно далеко. Полагая д-=у, мы получим аналогичную шкалу порядков роста для функций от у стремящихся к бесконечности при у стремящемся к нулю спрана ').
Примеры LXXXV. 1. Между любыми двумя членами ряда f(x) и F(x) мы можем вставить новый член ср (X) так, что ср (х) стремится к оо медленнее f(x) и быстрее Г(х).
[Так, между у~х и ух мы можем вставить х*^1г, между у\а х и
3 _ __
У~1пл:мы можем вставить (In дг) /ls. Вообще, ср (х) = У/(х) F(х) удовлетворяет требуемым условиям.]
2. Найти функцию, которая стремится к оо медленнее чем Ух, но
1 '
быстрее чем Xа, где а — любое рациональное число меньшее у.
[Такой'функцией является, например, х1/г (In х)~^, где ?— любое положительное рациональное число.]
