Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
3. Найти функцию, которая стремится к оо медленнее чем Ух, но быстрее чем У~X (1пл)~~ а, где а— любое положительное рациональное число.
[Такой функцией является, например, Ух (In In х)'1. Эти примеры показывают, что свойство неполноты присуще логарифмической шкале *).]
4. Как ведет себя функция
*a(laxf (In In*)*'
ПХ)~ x?(\axf'(\a\axf" при стремлении X К ОО? [Если a^?, то в
f(x) = ха~Н\а xf-V(\a In х)а"-$"
доминирует множитель XаЕсли a = ?, то степень X исчезает, ив/(лг) доминирует множитель (In xf - ?'>если а' Ф?'> а если же a' = ?',TOB этом случае доминирует множитель (1п1пл;)а"~^". Таким образом, f(x)—-оо, если a>?,или если a = ?, «'>?', или если a = ?, a' = ?', a">?", и f(x)—>0, если a<?, или если a = ?, a'<?', или если а = {3, a' = ?', а" < ?".]
408
Глава девятая
5. Записать функции
X х]/~\пх X In In л: X In In In х X ' In In X ' ]Ліп л: ' ]Ліп In л;
по порядку их роста для больших х.
6. Доказать, что
.H(X + I) = InX + O(I)1I1n-^i=I+O(J,),
In In Хх^_\ = — 1пх + 1п2 + 0 (І-) , In (X in X)~ InX
для больших X.
7. Доказать, что
^(1П^ = х7ш^' ^('nInXf=xln^anW^'''''
I -=lnlnx, I-j-г—;—= In In In x, ... .
J xlnx J xlnxlnlnx
8. Доказать, что кривая y = xm(lnx)n, где x положительно и т и я— целые числа, большие 1, имеет по крайней мере две точки распрямления и может иметь большее число таких точек. Набросать вид кривой при нечетном т.
(Экз. 1927 г.)
211. Число е. Мы сейчас введем в рассмотрение некоторое число, которое обычно обозначается буквой е и которое принадлежит (как, например, и число т:) к основным постоянным анализа.
Мы определяем е как число, логарифм натуральный которого равен 1*). Другими словами, е определяется уравнением
і
Так как In х является строго возрастающей функцией от х (см. п. 95), то он может принять значение 1 только один раз. Следовательно, наше определение однозначно.
Так как In ху = In х + \ау и, следовательно,
In xs = 2 In х, In xs = 3 In х,..., In хп = п In х,
где п — любое положительное целое число, то
In е" = п In е = п.
Далее, если р и q — любые положительные целые числа и е^7 обозначает положительный корень степени q из еР, то мы имеем
р = in еР = Ы(ер/1 )<? =s q In e^«,
так что
In*** .
*) Натуральные логарифмы обычно определяются, как логарифмы при основании е. Здесь же число е определяется через натуральный логарифм, причем сам натуральный логарифм был определен через интеграл (см. п.205). (Прим. перев.)
Логарифмическая, показат. и тригонометрические функции 409
x
Следовательно, \ч[\ больше х _^_^> если ?-5*0» и больше —если ?<0; поэтому когда nj мало, ? также должно быть мало.
Таким образом, су является положительной непрерывной функцией от у, которая монотонно возрастает от 0 до оо, когда у возрастает от — оо до оо. Кроме того, в соответствии с элементарными определениями, еу является у-ой степенью числа е при
Таким образом, если у имеет любое положительное рациональное значение и еУ обозначает положительную у-ю степень от е, то мы имеем
1пеУ=у (1)
и \ие~У= — ЫеУ = —у. Следовательно, равенство (1) справедливо при всех положительных и отрицательных рациональных значениях у. Другими словами, соотношения
V = InX, X= еУ (2)
являются следствиями одно другого, если у рационально, и под еУ понимается его положительное значение. Пока мы не даем никакого определения степени еУ при иррациональных значениях показателя, так что функция еУ определена только для рациональных значений у.
Пример. Доказать, что 2 < е < 3. [В первую очередь ясно, что
1
так что 2 < е. Кроме того,
3 2 3 1 1 1
('dt С dt . f dt _(' du , Г du f du ,
1 1 2 0 0 0
так что e < 3.]
212. Показательная функция. Определим теперь показательную функцию еу для всех действительных значений у как функцию, обратную логарифмической. Иначе говоря, мы полагаем
х = еУ,
если _у = 1плг.
Мы видели, что когда х изменяется от 0 до оо, 1плг строго» возрастает от — оо до оо. Таким образом, каждому положительному значению X соответствует только одно значение у, и наоборот. Кроме того, у является непрерывной функцией OT ЛГ, и из п. 110 следует, что и X является непрерывной функцией от у.
Легко дать непосредственное доказательство непрерывности показатель-нон функции. Действительно, если х = еУ и х + ? = ^ + ^, то
410 Глава девятая
рациональных значениях у. В частности, еу=1 при_у = 0. Общий вид графика функции еу изображен иа фиг. 49 (см. стр. 403).
213. Основные свойства показательной функции. (1) Если х = еу, так что _у = In at, то
dy _ 1 dx _ _ у
dx X ' dy х —
Таким образом, производная показательной функции равна самой функции. Вообще,
4-еаУ = аеаУ. dy
(2) Показательная функция удовлетворяет функциональному уравнению
f(y+ *)=№)№•
Для рациональных у и z это следует из обычного правила показателей. Если у или z, или оба они, иррациональны, то мы можем выбрать две последовательности рациональных чисел _у1( _у2,... ,уп,...
