Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
ь ь ь
H j*ep(x)a*xs? j f(x)o(x)dxs^KJ«p(x)a*x
a a a
U
b b
jf(x)cp(x)dx=f(l) JW)«**,
a a
где і лежит между а и Ь.
Это сразу доказывается применением теоремы (6) к интегралам
j {S(X) -H\ ср(X) dx, J { *—/(*)} ср (X) dx.
Дополнительные теоремы 319
Г
J sinx о
smnx . ах
равен л или 0, в зависимости от того, является ли п числом нечетным или четным. (Экз. 1933 г.)
4. Доказать, что
sin пх\г .
ах=-па
J" V sin X о
для всех положительных целочисленных значений п. [В примере 2 применить тождество
(Экз. 1933 г.)
sin (п Ar у] X
-j—--= 1 + 2 cos X Ar 2 cos 2х А- ... + 2 cos их,
sin "2 X
а в примере 3 — тождество sin ях
sin X
=. 2 cos (п — 1) X Ar 2 cos (я — 3) х +...,
где последнее слагаемое равно 1 или 2cosx. Для доказательства утверждения в примере 4 возвести последнее тождество в квадрат и применить результат примера LXIII. 10.]
5. Если
ср (х) = у а0+ a, cos X -f-64 sinx + ... Ara„ cos пх Ar b„ slnnx и ft — положительное целое число, не превосходящее Я, TO
2я 2 it 2тс
J* ср (х) dx = ^a0, J cos ftx ср (х) dx = mk, J* sin ftxcp (x)dx = nb^, оо о
если k > я, то значение каждого из последних двух интегралов равно нулю. [Применить результат примера LXIII. 9.]
6. Если / (х) :? ср (х) для a sg: х sg: Ъ, то
d о
J fdx ^ J cpdx.
2. Доказать, что
f sin In + ) в
J sin -„- О о 2
где п — положительное целое число или нуль. Чему равен этот интеграл при отрицательных целочисленных л?
3. Доказать, что интеграл
320 Глава седьмая
0,5 < f -J^~< 0,524.
J іЛ—xan о '
[Первое неравенство следует из того, что У 1 — х2" < 1, а второе — из того, что Y1 — Xs" у" 1-х2.] 9. Доказать, что
10. Доказать, что
і
dx 1
--< „- л.
4—х2 + ^ 6
2
dx
0,573 < Г _-г < 0,595.
J y^ 4 —Зх + х3
[Положить х=14-к, затем заменить 2 + Зиа-4-и3 иа 2 + 4ыа и иа 2 + Зиа.]
11. Если а и tp — положительные ост,рые углы, то
¦р
„ Г dx а
J Y1 —Sin2 a SlH2X і/ 1 — Sin2 a sifla tp 1 °
если a = tp=-g тг, то значение интеграла лежит между 0,523 и 0,541.
12. Доказать, что
j* /(X) dx J sg J|/(jf) !гід:.
[Если s обозначает сумму, рассмотренную в конце п. 161, а о'—соответствующую сумму, образованную для функции |/(х)|, то |о|^о'.] 13. Если \f(x)\^.M, то
ь ь
J J/(x)<p(x)dx SgAf J |<p(x)|dx.
166. Интегрирование по частям и подстановкой. Из п. 141
следует, что если / (х) и ср' (х) непрерывны, то
? b
j fix) *' (X) dx =f(b) ср (b) -f(a) ср (a) — J/' (x) tp (x) dx.
on
') Примеры 8—11 заимствованы из книги Gibson, Elementary treatise the calculus.
7. Доказать, что
*/» Vi *Л */4
0< J sin"+1jedx<: j sin"Xdx, 0< J tgn+1 xdx< j tg"xdx.
oo oo
8 '). Если n> 1, то
1A
Дополнительные теоремы 321
J xmf{m+4 (X) dx = F (Ъ) - Г (а),
где
F(x) = хт/(т> (X) — mx^f"1"1! (х) + т(т — 1) хт~3/ m's'> (х) —... -|-
+ (-l)mm\f(x).
3. Доказать, что
і і
j arc sin л- dx = ~ — I, J х arc tg .v dx = -^ :- J , о о
4. Доказать, что если а и b положительны, то
X cos X sin X dx
і X cos X sin X dx _ л
J V cosa X + ?Ш*1сУ — 4а'Ь*~(а~+Ь) о
[Проинтегрировать по частям и применить ргзультат примера LXIII. 8.] 5. Вычислить с помощью подходящих подстановок 2 15 1
Г dx С_dx_ (' X dx
21 Г. Харди
Эта формула известна как формула интегрирования определенного интеграла по частям.
Далее, мы знаем (см. п. 136), что если F(t)—интеграл от/(г),
то
j7{ 9 (•*)}?' (•*) dx = F {ср (х)\.
Следовательно, если ср (а) = с, cp(b) = d, то а ь
J' f(t) dt = F(d)- F(C) = F{ср (b)\- F{cf (a)} = J f\cp (х)\ф' (х) dу,
с а
что является формулой преобразования определенного интеграла подстановкой.
Эти формулы часто позволяют нам найти значение определенного интеграла без знания функции F(x). Определенный интеграл является разностью двух частных значений F(x), которая иногда может быть найдена каким-либо специальным приемом даже в тех случаях, когда сама функция F(x) неизвестна.
Примеры LXVL 1- Доказать, что ь
j xf" (X) dx = {bf (b)-f(b)} - {af (a) -/(а)}, а
2. Доказать, что вообще ь
322
Глава седьмая
6. Если
I sec3 .V dx, I |/tg X dx, I S + 7 cos -)- sin x '
о 5 — ic/s
( I +2cosa- r s.n,/s!^ cosaxfc
J (2-f cosx)2 J
о о
(Экз. 1924, 1925, 1926, 1931 гг.)
то
/l (JC) = J / W А*, Л {X) = J' Л (O Ut,..., fk (X) = J' /V, (*) Л,
о о о
Л W = (F=T)i J ' ('>(дг - ')ft"
° (Экз. 1933 г.)
[Повторно интегрировать по частям.] 7. Доказать интегрированием по частям, что если
і
"т. п=§ x™(l-x)ndx,
где т и й —положительные целые числа, то (т -j- п + 1) ит я = и вывести, что
/й! И!
яы
т, я — 1,
<*• " (m+'« + I)!' 8. Доказать, что если
1v 4
"я= J lg"xdx,
то Un + оп_8 = —!—у. Вывести отсюда значение интеграла для всех положительных значений я.
[Положить tg" X = tg"-2 х (sec8 а — 1) и интегрировать по частям.]
