Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
і +у Fr1 + F^= 0,
где F\, F , F^ означают Fx, Fy, F2, в которые подставлены значення лг = У — % ? = С = 1.
15. Зависимые и независимые функции. Якобианы или функциональные определители. Допустим, что и и v являются функциями OT X и у, связанными тождественным соотношением
ср (я, u) = 0. (1)
Дифференцируя (1) по X и у, мы получим:
ocf ди , д$ dv_р д® ди ду dv_
ди дх dv дх ' du dy^'dv dy ' ^
') В этом и следующих примерах мы предполагаем непрерывность всех встречающихся производных.
Дополнительные теоремы
333
исключая отсюда производные от tp, найдем, что
J =
Ux Uy
Vx V4
¦ uvvx = О, (3)
где их, Uy, vx, Vy обозначают производные от и и v по х и у. Равенство (3) является, таким образом, необходимым условием существования соотношения типа (1). Можно доказать, что это условие также достаточно (см., например, Э. Гурса, Курс математического анализа, т. I, гл. III).
Если UKv связаны соотношением (1), то они называются зависимыми; в противном случае говорят, что они независимы. Выражение J называется якобианом или функциональным определителем от и и v по je и у и обозначается так:
j=!SEi v\.
д (х, у) '
Аналогичные результаты имеют место для функций любого числа переменных. Так, три функции и, v, w от трех переменных х, у, г связаны соотношением tp (и, V, W) = O в том и только том случае, когда
J=
M-x Uy Ug Vx Vy V2 Wx Wy W2
_ д (и, у, W) ~~ д (х, у, г)
равен нулю для всех значений х, у, г.
16. Показать, что выражение
ах* + by* + cz* + 2/уг + 2gzx + 2hxy
может быть представлено в виде произведения двух линейных функций от х, у, z тогда и только тогда, когда
abc + 2fgh — af* — bg* — ch- = 0.
[Записать условие того, что
рх -)-qy -f- rz и p'Jtr + q'y + r'z
связаны с данной функцией функциональным соотношением.]
17. Если UKV являются функциями от ? и ч\, которые, в свою очередь, являются функциями от X к у, то
д(х, у) 0(5, T1) д(х, у)' Обобщить этот результат на любое число переменных.
18. Обозначим через / (х) функцию, производная которой равна — и
которая обращается в нуль при х = 1. Показать, что если и = f (х)-\-f (у), v = xy, то
UxVy — UyVx = О,
т. е. что и и V связаны функциональным соотношением. Полагая у = 1, показать, что это соотношение должно иметь вид
f(x)+f(y) = f(xy). Подобным же образом доказать, что если производная от f (х) есть yqj^j и /(O) = O, то f(x) должно удовлетворять уравнению f(x)+f(y) = f(^-y
то
334 Глава седьмая
Г>0 о 0 V-)
23. Вычислить ¦,, ,, если д (х, у)
(Экз. 1900 г.)
уа хг
1.
(Экз. 1936 г.)
а* + 1^ b* + l а8 + і* 1 Ь* + р~
24. Если А, В, С — функции от х такие, что
А А' А" В В' В" С С С"
есть тождественный нуль, то существуют такие постоянные X, \х, ->, что
IA + \хВ + чС
тождественно равно нулю, и наоборот. [Обратное предложение почти очевидно. Для доказательства прямого утверждения положим а = ВС — В'С,----
Тогда а' = ВС"—В"С, и из равенства нулю определителя следует, что Py'— ^1T = O, ...; таким образом, отношения постоянны. Но
аА + $В + -(С = 0.]
25. Допустим, что переменные х, у, z связаны некоторым соотношением,
В СИЛУ КОТОРОГО 1° Z ЯВЛяетСЯ функцией ОТ X И у С ПРОИЗВОДНЫМИ Zx И Zy
и 2° X является функцией от у и z с производными Xy и хг. Доказать, что
_ Zy _ 1
Xy — —, хг — .
2x Zx
[Мы имеем
dz = zxdx + Zy dy, dx = Xy dy + xz dz.
19. Доказать, что если
о '
20. Показать, что если существует функциональное соотношение между u=f(x) + f(y) + f(z), v=f(y)f(z)+f(z)f(x)+f(x)f(y),
W= f (X) f (у) f (z),
то f (х) должна быть постоянной.
[Условием существования функционального соотношения является равенство
f (X) f (У)f (Z){f(У)-f (Z)} {/(Z)-f (X)} {f(x)-f(y)} = 0.}
21. Если /(у, z), f(z, X) и f(x, у) связаны функциональным соотношением, то f(x, X) не зависит от х.
(Экз. 1909 г.)
22. Если и = 0, о = 0, w = 0 — уравнения трех окружностей, записанные в однородной форме (как в примере 14), то уравнение
д (и, у, W) _ д(х, у, г)
представляет окружность, ортогональную к данным трем.
Дополнительные теореми 335
l) В связи с примерами 31, 33, 36, 38 см. Bromwich, Messenger of Mathe matics, XXXV.
Подставляя dx в первое из этих уравнений, получим:
dz — (zxxv -f- Zy) dy + гххг dz, что может иметь место только в том случае, когда
^x^v ~г~ zxXz 1.]
26. Четыре переменных а-, _у, г, и связаны двумя соотношениями, в силу которых любые два из них могут быть выражены как функции остальных двух. Показать, что
фї + *5и? = 0, = = x»zx+y»z*y = l,
где у" обозначает производную от у по г, когда у выражено как функцвя от г и и.
(Экз. 1897, 1928 гг.)
27. Переменные х, у, z связаны соотношением
Xі -\-у°~ + г* — 3xyz = О
и «р(дг, у, z) — x%y2z. Определить значение ср_„. в точке (1, 1, 1), если независимыми переменными являются 1° X и у, 2° X и г; дать геометрическое толкование того факта, что в этих двух случаях получаются различные значения <fx.