Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Харди Г.Х. -> "Курс чистой математики" -> 124

Курс чистой математики - Харди Г.Х.

Харди Г.Х. Курс чистой математики. Под редакцией Солнцева Н.Я. — М.: Иностранной летературы, 1949. — 512 c.
Скачать (прямая ссылка): kchm1949.djvu
Предыдущая << 1 .. 118 119 120 121 122 123 < 124 > 125 126 127 128 129 130 .. 191 >> Следующая




cos тх sin ях dx -

Я—/я2

б

если я — т четно, то

J

Tl

J

cos тх sin ях dx = 0.

б

11. Доказать, что J* cos т 8 (cos 9)" d9 = 0,

о

если тип — положительные целые числа и /я > я.

(Экз. 1928 г.)

Дополнительные теоремы 315

J

xmdx.

12. Вычислить

Г 4*' + 3 d . {' xdx С dx f' dx

J 8х' + 4х+5 A' J Yx ¦ c ' J 5 + 3cosx ' J l-f2cosx' о о ' о о

a 1

і -s-^--(° <a<-o-r:), і arc tg xdx.

J COS 2a—COSX V 3 J ' J ь

о 0

(Экз. 1927, 1928, 1929, 1930, 1936 гг.)

164. Вычисление определенного интеграла как предела суммы.

В небольшом числе случаев мы можем вычислить определенный интеграл непосредственно нз его определения (см. пп. 161 и 162). Вообще говоря, вычисление производится гораздо проще с помощью неопределенного интеграла, но читателю полезно самостоятельно разобрать несколько примеров.

Примеры LXIV. 1. Вычислить

ь

J X dx

а

разбиением интервала (а, Ь) на п разных частей точками деления a= X0 Xi, X2,..., хп = Ь и вычислением предела

(X1-X0)Z(X0) + (X2-X1)Z(X1) + ... + (х„— xn_l)f (х„_4)

прн п —> со.

[Эта сумма равна

=^=i[»«+t=i(i+2+...+(»-i)}]=(»-«){«+(*-«)^^}:

что стремится к пределу у (б2— а2) при л —оо. Проверить результат геометрическими рассмотрениями.] 2. Вычислить

ь

J* X rfx, а

где 0 < а < Ь, разбиением интервала (а, *) на п частей точками деления а, аг, аг2,аг™, где/"" = —. Применить тот же метод к более общему интегралу

ъ

316 Глава седьмая

3. Вычислить ^ x*dx, ^j* cos uix dx и ^ sin mxdx методом примера 1.

л-1

4. Доказать, ч го « У—= — -г я при и —> со,

^ Я -J- f 4

/• = 0

[Это следует из того, что

л-1 1

Я , п . .__я _ Vi я

я2 + я2 + 12 + •¦• + яа + (я —1)2~ ,,(гХ*'

а эта сумма, по определению, стремится при я —¦ оо к пределу

1

С— 1

J I + *2 •J

л —1

1 V ,г-.--з 1 „

4

/• = 0

5. Доказать, что ^ ^ V~п* — г [Этот предел ранен

165. Общие свойства определенного интеграла. В определении определенного интеграла как предела суммы мы предполагали, что 1° / непрерывна и 2° а<^Ь. Мы определяем его значение при а ^> b равенством

0)

J f(x) dx = — ^f(x)dx,

а при a = b—'равенством

(2) jf(x)dx = 0.

а

Эти определения станонятся теоремами, если мы определим интегралы с помощью функции F(x); действительно,

F(b)-F(a) = ~{F(a)-F(6)}, F(a)—F(a) = 0.

Тогда мы имеем для любых а и Ь:

ь с с

j* f(x) dx -f J/(x) dx== j* f(x) dx;

ь ь ь

Дополнительные теоремы 317

(8)

J/(X) dx=(b — a)/(S)1

где S лежат между а и Ь.

Это следует из свойства (7). Действительно, в качестве H мы можем взять наименьшее, а в качестве К—наибольшее значение /(х) в (а, Ь). Тогда интеграл равен ч\ (р — а), где т| лежит между H и К. Но так как /(х) непрерывна, то должно существовать такое %,

что /($) = y] (см. п. 101).

Если Fix) — интеграл от f(x), то свойство (8) может быть записано в виде

F(b) — F(O) = (P- O)F1 (І),

так что это свойство оказывается частным случаем теоремы о среднем из п. 126. Свойство (8) можно назвать первой теоремой о среднем интегрального исчисления.

ь ь

(4) J k/(Jf)dx = k j'/ (л;) dx;

ь ь ь

(5) j {/(X) + ср (X)} rfx = J/(x) dx + j ер (X) dx.

a a a

Читателю рекомендуется провести формальные доказательства этих свойств, исходя (а) из определения интеграла с помощью функции .F(x) и (?) из определения как предела суммы.

Важную роль играют также следующие теоремы,

ь

(6) Если /(х)ЗгО для azSxz^b, то j /(x)tfxSsO.

а

Мы должны только заметить, что сумма s из п. 156 не может быть отрицательной. "Ниже будет, показано (разные примеры, 43, стр. 338), что значение интеграла не может быть нулем, если /(х) не равна тождественно нулю; это может быть также выведено из первого следствия в п. 122.

(7) Если HsSf (х) К для а'S X-Sb1 то

ь

H(b — a)^ J f(x)dx-SK(b — a).

а

Это сразу доказывается применением свойства (6) к функциям /(х) — H и К—/(*)•

318 Глава седьмая

(10) Основная теорема интегрального исчисления. Функция

F(x) = §f(t)dt

а

имеет производную, равную f(x).

Это было уже доказано в п. 148, но представляется целесообразным сформулировать этот результат здесь в виде формальной теоремы. Из этой теоремы следует, как было уже отмечено в п. 162, что F (х) является непрерывной функцией от х.

Примеры LXV. 1. Показать, исходя из определения определенного интеграла как предела суммы и снойстн (1) — (5), что

а а а

1) j*<p (х8) dx = 2 J <р (X2) dx, J x<j> (X2) dx = 0;

— a 0 —a

Va Va «

2) J" ? (cos X) dx = J* <p (sin x) dx = J- J* tp (sin x) dx; оо о

тт ти

3) J <p (cos2 X) dx == от J <p (coss X) dx, о о

где m—целое число. [Спранедлиность этих соотношений станет геометрически оченидиой, если представить себе нид графикой подинтегральных функций.]

(9) Обобщенные теоремы о среднем для интегралов. Если ер(х) положительна и H и К определены как в теореме (7), то
Предыдущая << 1 .. 118 119 120 121 122 123 < 124 > 125 126 127 128 129 130 .. 191 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed