Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
2я
cos тх sin ях dx -
Я—/я2
б
если я — т четно, то
J
Tl
J
cos тх sin ях dx = 0.
б
11. Доказать, что J* cos т 8 (cos 9)" d9 = 0,
о
если тип — положительные целые числа и /я > я.
(Экз. 1928 г.)
Дополнительные теоремы 315
J
xmdx.
12. Вычислить
Г 4*' + 3 d . {' xdx С dx f' dx
J 8х' + 4х+5 A' J Yx ¦ c ' J 5 + 3cosx ' J l-f2cosx' о о ' о о
a 1
і -s-^--(° <a<-o-r:), і arc tg xdx.
J COS 2a—COSX V 3 J ' J ь
о 0
(Экз. 1927, 1928, 1929, 1930, 1936 гг.)
164. Вычисление определенного интеграла как предела суммы.
В небольшом числе случаев мы можем вычислить определенный интеграл непосредственно нз его определения (см. пп. 161 и 162). Вообще говоря, вычисление производится гораздо проще с помощью неопределенного интеграла, но читателю полезно самостоятельно разобрать несколько примеров.
Примеры LXIV. 1. Вычислить
ь
J X dx
а
разбиением интервала (а, Ь) на п разных частей точками деления a= X0 Xi, X2,..., хп = Ь и вычислением предела
(X1-X0)Z(X0) + (X2-X1)Z(X1) + ... + (х„— xn_l)f (х„_4)
прн п —> со.
[Эта сумма равна
=^=i[»«+t=i(i+2+...+(»-i)}]=(»-«){«+(*-«)^^}:
что стремится к пределу у (б2— а2) при л —оо. Проверить результат геометрическими рассмотрениями.] 2. Вычислить
ь
J* X rfx, а
где 0 < а < Ь, разбиением интервала (а, *) на п частей точками деления а, аг, аг2,аг™, где/"" = —. Применить тот же метод к более общему интегралу
ъ
316 Глава седьмая
3. Вычислить ^ x*dx, ^j* cos uix dx и ^ sin mxdx методом примера 1.
л-1
4. Доказать, ч го « У—= — -г я при и —> со,
^ Я -J- f 4
/• = 0
[Это следует из того, что
л-1 1
Я , п . .__я _ Vi я
я2 + я2 + 12 + •¦• + яа + (я —1)2~ ,,(гХ*'
а эта сумма, по определению, стремится при я —¦ оо к пределу
1
С— 1
J I + *2 •J
л —1
1 V ,г-.--з 1 „
4
/• = 0
5. Доказать, что ^ ^ V~п* — г [Этот предел ранен
165. Общие свойства определенного интеграла. В определении определенного интеграла как предела суммы мы предполагали, что 1° / непрерывна и 2° а<^Ь. Мы определяем его значение при а ^> b равенством
0)
J f(x) dx = — ^f(x)dx,
а при a = b—'равенством
(2) jf(x)dx = 0.
а
Эти определения станонятся теоремами, если мы определим интегралы с помощью функции F(x); действительно,
F(b)-F(a) = ~{F(a)-F(6)}, F(a)—F(a) = 0.
Тогда мы имеем для любых а и Ь:
ь с с
j* f(x) dx -f J/(x) dx== j* f(x) dx;
ь ь ь
Дополнительные теоремы 317
(8)
J/(X) dx=(b — a)/(S)1
где S лежат между а и Ь.
Это следует из свойства (7). Действительно, в качестве H мы можем взять наименьшее, а в качестве К—наибольшее значение /(х) в (а, Ь). Тогда интеграл равен ч\ (р — а), где т| лежит между H и К. Но так как /(х) непрерывна, то должно существовать такое %,
что /($) = y] (см. п. 101).
Если Fix) — интеграл от f(x), то свойство (8) может быть записано в виде
F(b) — F(O) = (P- O)F1 (І),
так что это свойство оказывается частным случаем теоремы о среднем из п. 126. Свойство (8) можно назвать первой теоремой о среднем интегрального исчисления.
ь ь
(4) J k/(Jf)dx = k j'/ (л;) dx;
ь ь ь
(5) j {/(X) + ср (X)} rfx = J/(x) dx + j ер (X) dx.
a a a
Читателю рекомендуется провести формальные доказательства этих свойств, исходя (а) из определения интеграла с помощью функции .F(x) и (?) из определения как предела суммы.
Важную роль играют также следующие теоремы,
ь
(6) Если /(х)ЗгО для azSxz^b, то j /(x)tfxSsO.
а
Мы должны только заметить, что сумма s из п. 156 не может быть отрицательной. "Ниже будет, показано (разные примеры, 43, стр. 338), что значение интеграла не может быть нулем, если /(х) не равна тождественно нулю; это может быть также выведено из первого следствия в п. 122.
(7) Если HsSf (х) К для а'S X-Sb1 то
ь
H(b — a)^ J f(x)dx-SK(b — a).
а
Это сразу доказывается применением свойства (6) к функциям /(х) — H и К—/(*)•
318 Глава седьмая
(10) Основная теорема интегрального исчисления. Функция
F(x) = §f(t)dt
а
имеет производную, равную f(x).
Это было уже доказано в п. 148, но представляется целесообразным сформулировать этот результат здесь в виде формальной теоремы. Из этой теоремы следует, как было уже отмечено в п. 162, что F (х) является непрерывной функцией от х.
Примеры LXV. 1. Показать, исходя из определения определенного интеграла как предела суммы и снойстн (1) — (5), что
а а а
1) j*<p (х8) dx = 2 J <р (X2) dx, J x<j> (X2) dx = 0;
— a 0 —a
Va Va «
2) J" ? (cos X) dx = J* <p (sin x) dx = J- J* tp (sin x) dx; оо о
тт ти
3) J <p (cos2 X) dx == от J <p (coss X) dx, о о
где m—целое число. [Спранедлиность этих соотношений станет геометрически оченидиой, если представить себе нид графикой подинтегральных функций.]
(9) Обобщенные теоремы о среднем для интегралов. Если ер(х) положительна и H и К определены как в теореме (7), то