Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Харди Г.Х. -> "Курс чистой математики" -> 121

Курс чистой математики - Харди Г.Х.

Харди Г.Х. Курс чистой математики. Под редакцией Солнцева Н.Я. — М.: Иностранной летературы, 1949. — 512 c.
Скачать (прямая ссылка): kchm1949.djvu
Предыдущая << 1 .. 115 116 117 118 119 120 < 121 > 122 123 124 125 126 127 .. 191 >> Следующая


f(x,y) = 0, x = a+h, y = b + k,

то

0 = /(*, y)-f(a, 6) = (/;+ s) Л+ (/; + ?j)?*), где ? и к; стремятся к нулю при h и к стремящихся к-ОІ Таким образом,

к _ f'a + - _[а

или

dy___fa

dx- fb-

10. Уравнение касательной к кривой f (х, у) = 0 в точке (х0, у0) имеет

вид

(X — X0) fx (х0, /уо) + (у — у0) f'y (х0, у0) = 0.

11. Пусть в результате исключения и из уравнений y = f(x, и) и г = = у(х, и) мы имеем z = F(x, у). Доказать, что

F — fuVx — fx'fu р _5Pu

Гх--; , гу— Y-

Ja Ja

(Экз. 1933 г.)

12. Максимумы и минимумы. Очевидные изменения в определениях п. 123 приводят нас к определению максимального и минимального значений функции от двух переменных. Ясно, что если f (х, у) в точке (а, Ь) имеет максимальное значение, то функция /(х, Ь) имеет максимум при X = а, так что / должно обращаться в нуль в точке (а, Ь). Подобным же образом мы убеждаемся в том, что и / обращается в нуль в этой точке. Таким образом,

/;=°. /;=°.

или (что то же самое)

df=0

являются необходимыми условиями максимума и минимума. Вопрос о нахождении достаточных условий более сложен, и мы на нем здесь останавливаться не будем.

13. Если у определено, как функция от х, уравнением g (х, у) = 0 и f (х, у) имеет в некоторой точке максимум, то (в силу того, что формула для дифференциала — одна и та же, как в случае независимых переменных, так и в случае, когда переменные связаны между собой некоторым соотно-

*) fa = fx (а> b)> f'b =fy (a> b)- (Прим. перев.)

Дополнительные теоремы

307

(1)

шением) rf/ = 0 в точке максимума, тогда как dg=0 для всех х и у. Дру гими словами, f'xdx-\-fydy = 0, если gxdx g'ydy = 0, а, следовательно,

x _ 1I

i '

Sx Sy

Если g'x или g'y равно нулю, то уравнение (1) должно быть понято так,

что стоящее в числителе соответствующей дроби fx или f'y равно нулю.

Аналогично мы находим, что если z определено уравнением g (х, у, z) = О и f (х, у, z) имеет максимум в некоторой точке, то

1x _ Jy__

Sx Sy Sz

(с оговоркой, подобной той, которая сделана в предыдущем случае).

14. Если а, р, т положительны. А, В, С являются углами в некотором треугольнике и sin01 Asir? В sinY С имеет максимальное значение, то

fr ' « u--^ , tg о— ^- .

(Зкз. 1935 г.)

161. Определенные интегралы и площади. В п. 148 гл. VI мы

приняли, что если f(x) — непрерывная функция от л: и P1P—дуга графика y=f (х), то области, ограниченной P1P, ординатами P1N1 и PN и отрезком N1N оси х, можно сопоставить некоторое число, называемое ее площадью. Ясно, что если ON=X и х меняется, то эта площадь будет функцией от д:, которую мы Обозначим через F (х).

Сделав такое предположение, мы в п. 148 доказали, 4TOf(A:) = —f(x), и показали, как этот результат может быть применен к вычислению площадей некоторых областей, ограниченных кривыми линиями. Но мы должны еще доказать основную предпосылку, что величина F (х) — площадь данной фигуры — действительно существует.

Мы знаем, что понимают под площадью прямоугольника, и что она измеряется произведением длин его сторон. Свойства треугольников, параллелограмов и многоугольников, доказанные Эвклидом, дают нам возможность определить и площадь этих фигур. Но ничто известное нам до сих пор не дает непосредственного определения площади фигуры, ограниченной кривыми линиями. Покажем теперь, как можно определить F (х) так, чтобы мы могли доказать существование этого числа.

Мы предполагаем f(x) непрерывной в замкнутом интервале (а, Ь) и разбиваем этот интервал на некоторое число подинтервалов точками деления х0, X1, д:2, ... , д:п, где

a = jc0<jc1<jca< ... On-1On = *.

20*

308

¦ Глава седьмая

Обозначим через 8V интервал (x,, xv+i) и через т., — точную нижнюю грань (см. п. 103) f(x) в 8, и положим

s = тй\ + /K1S1 + ... + »vA-i = 1>тА.

Ясно, что если M является точной верхней гранью f(x) в (а, Ь), то S^M(P — а). Совокупность значений s является поэтому ограниченной сверху (см. п. 103) и имеет точную верхнюю грань, которую мы обозначим через j. Ни одно значение s не превосходит j, но существуют значения s, превосходящие любое число, меньшее j.

Точно так же, если Л1, обозначает точную верхнюю грань f(x) в 8V, то полагая

мы найдем, что S^m(b — а), где т является точной нижней гранью f(x) в (а, Ь). Совокупность значений 5 ограничена, таким образом, снизу и имеет точную нижнюю грань, которую мы обозначим через J. Ни одно значение 5 не меньше J, но существуют значения 5, меньшие любого числа, большего J.

Полезно уяснить себе геометрический смысл сумм s и S в том простом случае, когда / (х) монотонно возрастает в (a, b). В этом случае mv=/(xv)

и Мч=/(Хч + і). Сумма s является суммой площадей прямоугольников, заштрихованных на фиг. 44, a S — площадью фигуры, обведенной жирной линией. В общем случае s н S также будут площадями фигур, состоящих из прямоугольников, причем s будет площадью такой фигуры, целиком содержащейся в криволинейной фигуре, площадь которой мы определяем, a S — площадью фигуры, содержащей эту последнюю.
Предыдущая << 1 .. 115 116 117 118 119 120 < 121 > 122 123 124 125 126 127 .. 191 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed