Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
является поэтому „приближенно" верным.
Дб сих пор мы не придавали никакого самостоятельного значения символу dy, взятому в отдельности. Условимся теперь определять dy уравнением
dy=f {х) Ьх. (3)
Если мы выберем в качестве у функцию у=х, то получим, что
dx = Ьх, (4)
так что
dy=f'(x)dx. (5)
Если мы разделим обе части уравнения (5) на dx, то получим:
(6)
где ^fx уже не означает, как до сих пор, дифференциальный коэффициент у, а является отношением дифференциалов dy, dx. Символ ^fx приобретает, таким образом, двойной смысл; но это не вызывает никаких неудобств, так как (6) остается в силе при любом из двух смыслов левой части.
Перейдем теперь к соответствующим определениям, связанным с функцией z от двух независимых переменных х и у. Мы определяем дифференциал dz уравнением
dz~fbx+fby. (7)
Полагая последовательно z = х и z ==у, мы найдем, что
dx == Ьх, dy = by, (8)
так что
dz=fxdx+fydy, (9)
что является точным уравнением, соответствующим приближенному уравнению (1) п. 159.
304 Глава седьмая
Одно свойство уравнения (9) заслуживает особого упоминания. В п. 157 мы видели, что если z=f(x, у), причем х и у являются функциями некоторого переменного t, т. е. не независимы Друг от друга, то и z является функцией только от t и
dz_df dx , df dy
Tt die Jt ~I~ dydt '
Умножая это уравнение на dt и принимая во внимание, что dx = %d^ аУ = іцМ> dz = %dt>
мы получаем:
dz=fxdx+%dy,
что по виду совпадает с уравнением (9). Таким образом, формула, выражающая dz через dx и dy, одна и та же как в том случае, когда х и у независимы друг от друга, так и в том случае, когда они являются функциями от некоторой третьей переменной. Это замечание играет большую роль в приложениях.
Следует также отметить, что если z есть функция от двух независимых переменных X и у И
dz = Xdx -f- jw/y,
то X=fx, {J.=/^. Это сразу следует из п. 159.
Очевидно, что теоремы и определения последних трех пунктов могут быть легко обобщены на функции любого числа переменных. Дифференциальные обозначения обладают многими практическими преимуществами, в особенности в приложениях к геометрии.
Примеры LXtK 1. Обозначим площадь эллипса с полуосями а и Ъ через А. Доказать, что
dA_da , db
~А~~аЛ~Ь-
2. Выразить Д, площадь треугольника ABC, через (1) а, В, С, (2) А Ь, с и (3) а, Ъ, с и вывести формулы
гіД „da . cdB , bdC dA t ... . db , de
т-=2----:—5+ •¦ ^ ¦ т" = СШ AAA + -г л--,
Д а 1 a sin 5 1 а sin С Д b с'
dA = R (cos Ada -(- cos Bdb + cos Cdc),
где R обозначает радиус описанного круга.
3. Стороны треугольника изменяются таким образом, что его площадь остается постоянной, так что а может рассматриваться как функция от Ь и с. Доказать, что
да_ cos В да_ cos С
db cos Л' дс cos Л' [Это следует из уравнений
da s= ^ db -j- de, cos Ada + cos Bdb + cos Cdc= 0.]
Дополнительные теоремы 305
и, следовательно,
да cos А да cos А
db cos В' дс cos С
[Применить формулы a = 2R sin А, ... и учесть, что R и Л -)- ¦S + С постоянны.]
5. Если z является функцией от и, V, которые, в свою очередь, являются функциями от X и у, то
dz_dz du dz dv dz_dz du .dzdv
dx du dx ' dv dx' dy du dy~*~ dv dy'
[Мы имеем:
dz . , dz . . du . , du . . dv . , dv . dz = Fudu+rvdv, du=rxdx + Tydy, dv = rxdx + Fydy.
Подставить выражения для du и dv в первое уравнение*) и сравнить результат с уравнением
. dz . , dz . , dz = Txdx + Tydy.\
6. Если иг cos 9 = 1, tgo = t/ и F (г, 9) = G (и, v),
то
rFr = — uGa, Fa=uvGa + (l+v*)Gv.
(Экз. 1932 г.)
7. Пусть z — функция от х ну, и пусть X, Y, Z определены уравнениями
X = O1X+O1Y+C1Z, у = а3Х + b,Y + c3Z, z = atX + bsY + csZ.
Тогда Z может быть выражена как функция от X и Y. Найти выражения Zx и ZY через Zx и Zy
[Обозначим эти дифференциальные коэффициенты через Р, Q к р, q. Тогда dz—pdx—q dy =0 или
(C1P + csq — сг) dZ + (atp + asq — aa) dX + (btp + hq — ba)Y=z 0.
Сравнивая это уравнение с dZ—PdX—QdY=O, мы находим, что
р_ aiP + atq — аг btp + b^q — b,
ClP + М~Сг ' w C1P + Crf — C3 'J
8. Если
(atx + ЬіУ + C1Z)p + (asx + b$ + c«z) q=aix + bzy + cbz,
то
(U1X +b,Y + C1Z) P + (asX + b%Y + c,Z)Q = a3X + b,Y + csZ.
(Экз. 1899 г.)
9. Дифференцирование неявных функций. Предположим, что f (х, у) и ее производные f'x и /J, непрерывны в окрестности некоторой точки (а, Ь) и что
_ f(a, 6) = 0, fy(a, Ъ)ф0.
* Инвариантность формы дифференциала, доказанная в настоящем пункте для того случая, когда и и v являются функциями одного переменного t, имеет место и в том случае, когда и и v являются функциями от двух переменных X и у. (Прим. перев.)
20 Г. Харди
4. Если а, Ь, с изменяются так, что R остается постоянным, то
— 1 db I dc =0 cos А ' cos В ' cos С
306
Глава седьмая
Тогда мы можем найти такую окрестность точки (а, Ь), в которой fу(х,у) сохраняет знак. Допустим, например, что fy(x,у) положительна вблизи (а, Ь). Тогда для любого значения х, достаточно близкого к а, функция f (х, у) является строго возрастающей (в смысле п. 95) функцией от у для всех у, достаточно близких к Ь. Из теоремы п. 109 в этих условиях следует, что существует единственная непрерывная функция у от х, которая принимает значение Ь при х = а и удовлетворяет уравнению f (х, у) = 0 для всех значений х, достаточно близких к а. Если
