Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
dfdx dfdy__ дх dt "т dydt~~
5. Если лг и у являются функциями от а г и 6 — полярные коорди-
, хх'+уу' ., лгу'—улг' ,
наты точки (лг, у), то г —-1 , 8' = га —' Где ШТРИХИ обозначают дифференцирование по t.
158. Мы предполагали, что fx и / являются непрерывными функциями от двух переменных лг и у в смысле п. 108. Предположение одного их существования для всех лг и у оказывается недостаточным.
Действительно, из одного существования fx и fy мы можем сделать очень мало выводов; мы даже не можем заключить, что / непрерывна. Рассмотрим, например, функцию из примера в п. 108, определенную уравнениями
2лгу
Дополнительные теоремы 301
') Или по сравнению с [ Ьх | +1 Ьу \ или У~Ьх* -f Sy8.
Это равенство может быть записано в виде
by=f (х-\-Шх)Ьх,
где y=f(x). Предположим теперь, что z=f(x, у) — функция от двух независимых переменных х и у, и дадим х и у приращения Л, k или 8л:, 8у. Поставим задачу найти выражение для соответствующего приращения Z1 а именно,
82=/(* +Л, y-\-k)—f{x, у),
через Л, А и производные от Z по x и J/. Пусть
/(*+ W, + M) = F (t).
Тогда
/(X+ A, ^ + A)-Z(X1 j,) = F(I)-F(O) = T(S), где 0<^6<^1. Но, по теореме о полной производной (см. п. 157), F' (t) = Dtf(x + М, у + Af) = А/; (* + М, у + W) +
+*/;(*+W, +«о.
Следовательно,
iz = f(x + А, д» + А) —/(*, j,) = А/; (* + 6А, j; + M) + + A/; (x + 8Л, д/ + 8A),
что и является искомой формулой. Так как f'x, f—непрерывные функции от x и у, то
/; (* + 8A1J» + 8A) =/; (*, у) + ей, ь
/; (* + 9А, д, + 8A) =/; (*, j;) + тіл, ft,
где sA> ft и T|At ft стремятся к нулю при А и k, стремящихся к нулю. Следовательно, теорема может быть записана и так:
8^=Х/; + е)8л: + (/; + т|)8з;, (1)
где є и Tj малы, если 8дт и Ьу малы.
Результат, содержащийся в (1), состоит в том, что соотношение
8r=/;s*+/;8.y
\
приближенно верно, т. е. что разность между левой и правой частью этого равенства мала по сравнению с большим из чисел 8л:, Sy1). Мы должны сказать „большим из чисел Ьх, Ьу", потому что одно из них может быть мало по сравнению с другим; возможно даже, что 8л: = 0 или 8д/ = 0.
302 Глава седьмая
Если любое уравнение вида 8z = XSx + ц8у ,приближенно верно", то X =/^., |л = /у. Действительно,
Sz — f'x8x — f'y8y = є8х -f TjSy, Sz — Х8х — цбу = е'«х + vj'Sy,
где є, т), г', т|' стремятся к нулю, когда 8л: и Sy стремятся к нулю; таким образом,
(X - /х) Sx + (ц - /^,) Sy = Р8х + а8у,
где р и а стремятся к нулю. Следовательно, если С — любое заданное положительное число, то мы можем подобрать такое ш, что
I (X -fx) 8х + (|х -fy) Sy I ^ С (I 8л- I + I Sy [)
для всех значений Sx и Sy, по модулю меньших чем ш. Полагая 8у = 0, получим I (X—f'x) Sx I СI 8л: |, или | X—| ^ С, что может иметь место для произвольного С только в том случае, когда X = Аналогично найдем, что /у.
Мы доказали, что (1) имеет место, если /х и fy непрерывны, но это условие не является необходимым. Допустим, например, что <t(x,y)— любая непрерывная функция от х и у, и положим
z =/{х, у) = (X-fу) <р (х, у).
Тогда
/:(0,0)=1^^^)=,(0,0)
и аналогично f'y(0, 0) = <р(0, 0); кроме того, очевидно, что
Z= {? (0, 0) + е} X + {9 (0, 0) + Vj}у,
где є и Vj стремятся к нулю при X иу, стремящихся к-0. Это соотношение эквивалентно (1) при х=у = 0. Номы не предполагали, что <р (х,у) дифференцируема по X или по у, и fx и fy могут не существовать ни в одной точке, кроме начала координат.
Соотношение (1) иногда берется в качестве определения „диффереици-руемости функции от двух переменных*; /(х, у) называется дифференцируемой в точке (х,у), если
/(х+Й,у + А)-/(х,у) = (Л + г)Л + (В + у))А,
где А и В зависят только от х и'у, и е и yj стремятся к нулю при hak стремящихся к нулю; дифференцируемость в области означает дифферен-цируемость в каждой точке этой области. В данном случае f'x и f существуют и равны Л и В, но они могут не быть непрерывными. Условия, накладываемые на fx н fy в этом определении, являются промежуточными между более слабыми условиями одного лишь существования f'x и f'y н более сильными условиями непрерывности /х и /у. Это определение дифференцируемое™ имеет много преимуществ, но для наших целей условие непрерывности частных производных является достаточно общим. См, W. Н. Young, The fundamental theorems of the differential calculus (Cambridge Math. Tracts, No. 11), а также де ла Валле-Пуссен, Курс анализа бесконечно малых, т. 1, rit. III, ГТТИ, 1933.
Дополнительные теоремы 303
160. Дифференциалы. В приложениях математического анализа, особенно к геометрии, как правило, оказывается чрезвычайно удобным иметь дело с уравнениями, содержащими не приращения Ьх, Ьу, bz функций х, у, z, а так называемые дифференциалы dx, dy, az; в качестве уравнения, содержащего приращения, можно указать на соотношение (1) п. 159.
Вернемся к функции У—fix) одного переменного х. Если / дифференцируема, то
&У = #'(*)+ «}**. (1)
где е стремится к нулю вместе с Ьх. Уравнение
by = f (х) Ьх (2)
