Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Харди Г.Х. -> "Курс чистой математики" -> 130

Курс чистой математики - Харди Г.Х.

Харди Г.Х. Курс чистой математики. Под редакцией Солнцева Н.Я. — М.: Иностранной летературы, 1949. — 512 c.
Скачать (прямая ссылка): kchm1949.djvu
Предыдущая << 1 .. 124 125 126 127 128 129 < 130 > 131 132 133 134 135 136 .. 191 >> Следующая


(Экз. 1936 г.)

28. Если x* = vw, у2 = wu, z* = uv и f (х, у, г) = ср(и, v, w), то

xfx +yfy + zfz — Щи. + V'U + Щ&

(Экз. 1933 г.)

29. Найти CPy(O, 0), если

<?(х,у)— xs+y*

когда X и у не равны одновременно нулю, и ср(0, 0) = 0; объяснить, почему соотношение ср(х, _у) = 0 не определяет у как однозначную функцию от х в окрестности начала координат.

(Экз. 1928 г.)

30. Пусть ср (и, V, х, у) однородна со степенью 2 относительно и и г»; положим срц = р, Cp10=^. Пусть ср(м, у, х, у), выраженная через р, q, х, у, есть А (р, q, х, у). Доказать, что

(Зкз. 1936 г.)

[По теореме Эйлера (пример 12), нср„ -4- v<fv = 2* или /ш-f </г> = 2ф, если н и f выражены через />, х, у. Следовательно,

u+pup + qvp = yjp.

по

— <Ри«р + 9•»»P = + avv и значит 6р = «. Остальные результаты доказываются аналогично.]

31. Если я>0, ас — > 0, и X1^x0, то

? _ 2_ arc te (^-^У^Д^'

J ах* + 2Ьх+с 1/дс—s «X1X0 -f- Ъ (X1 + х„) + с '

х„

где значение арктангенса лежит между 0 и т.1).

336

Глава седьмая

32. Вычислить интеграл

J'_sin a dx 1 — 2х cos a -f- Xі

-1

Для каких значений а этот интеграл является разрывной функцией от а?

(Экз. 1904 г.)

[Значение интеграла равно г., если 2п~<а<. (2п -f- I) л, н —у ir, если (2й— 1) і: < а < 2п~, где « — любое целое число; прн а кратном ~ интеграл равен 0.]

33. Если ах* -\-2bx -\- О 0 для X0 х ^ X1, / (X) = У'ах* + 2Ьх~с

н

y=f(x), уа = /(х0), yl = f(xl), X=^f,

У і і~ У о

то

x0

если 'а положительно, и

(• 1,1 +XVa

I--= —T=In —---к— ,

J .У ]/a I _ЛГ]/а

если а отрицательно, где значение арктангенса лежит между 0 н "

X

^Подстановка t = * ^ *° приводит интеграл к виду 2 J* ^ ^s-J

34. Доказать, что

а

dx

35. Если а > 1, то

и

(Экз. 1913 г.)

1

( V±Z^Ldx=,(a-y^i). Ja — л- '

— і

36. Если р > 1, 0<а< 1, то і

_ dx____ 2<о_

о '^{I + (рг — 1) X} {I — (1 - а-)х} ~ (P+~q)siu^ '

где <и обозначает положительный острый угол, косинус которого равен

¦+M ~p + q'

1

Дополнительные теоремы 337



Г sin* в de Ir., ,--

J J=Fc3Te==3«(e-Ka,-*,)-

о

_ (Экз. 1904 г.)

38. Доказать, что если а> j/6s-f-es, то

} т _ ._г__ у а* —р — с*

J a + b cos 8 +с sin в !/"да _ __ сїт arctg с

где значение арктангенса лежит между Оиіг.

39. Доказать, что если т :?= I и

*/i K/s

/mi „= Jsinm X cos ях dx, JOT) я = Jsinm X sin ях dx, о о

to

(« + «)7«. n=&in 2m-mJm-\,n-i> и выразить /m n через /m_2, n—2 ПРИ. w=>2.

(Экз. 1933 г.)

40. Доказать интегрированием от 0 до ~ неравенств

1 — sinan-'x I — sin*" х_ ^ 1_— sin»»+^x 2я — 1 > 'In" >- 2«+"I с помощью результата примера LXV1. 10, что (. . 2п — 1 \ 4/1

где

„ - 3J^-^п+1) Р"~~ 2-4... 2я

(Эагз. 1924 г.)

41. Найти рекуррентную формулу для

^ sjn^-1BdG 6

и вывести, что

1 = cos X + у cos X sinax +... -j- -(2я^Г2) cos х + Гп'

, 1 sin3a , , 1-3...(2« —3) sin^-'o , „ а = sra* + 2 -З" + • • • + 274^7(?—2) 2Я-1 + *»'

где

3-5... (2я —1) ? . .„ 10 г"= 2-4...(2п-Г2) J Sm8 18 (

I de

о

37. Если а > Ь > 0, то

22 Г. Харди

338

Глава седьмая

a a

Rn = J rndx = 2??} J(«—v)-in—¦.V^. о о

Доказать, что л: + a cos х ^ а, если U ^ л" =?: а Sg: — к, и вывести от-

сюда, что

Ь3...(2я —1) .

(Экз. 1924 г.)

42. Доказать с помощью подстановки УI -f- Xі =(1 -f-xs)costp или иным

путем, что

1 — Xі dx _ гс

1 + Xі у Y^xJ — 41^2 '

(Зкз. 1923 г.)

43. Если /(лг) непрерывна и не принимает отрицательных значений и

J/(x)d\v = p,

то /(л:)= 0 для всех значений х между а и д. [Если бы f (х) принимала, например, пр* X = ?, положительное значение к, то мы могли бы, в силу . непрерывности f(x), найти такой интервал (? — S, ? + S), в котором

/(•*¦)> Tj-А; но Т0ГДа значение интеграла превосходило бы SA.]-

44. Неравенство Шварца. Доказать, что

[Заметим, что

j «<i> dx J J tfVx J 4<s dx

U UOt'

J (Xtf + ^dX = X8 J <f»dx + 2X(j. J" cpildx + JJ.2 j 4-2dx

a a a a

не может быть отрицательным. Это неравенство может быть также получено как предельный случай неравенства Коши (гл. I, Разные примеры, 10).] 45. Если

р*<*)=&{{х -а) {? -Х)Г'

то Pn (х) является многочленом степени п и обладает тем свойством, что

J Р„(х)Ь(х)

dx = 0,

где 9(х) — любой многочлен степени меньшей п.

[Проинтегрировать «-4-І раз по частям, где m—степень в(х), и учесть, что 6(«+I)(X) = O.]

Дополнительные теорема 339*

л

и, следовательно,

ij (Qn-^PnYdX=O.

Далее применить результат примера 43.]

48. Если <р (х) — многочлен пятой степени, то 1

§<t(x)dx = і {5 <р (a) + 8 <р Щ + Ap(P)J, о

где аир являются корнями уравнения х2 — x-f-^ = 0.

(Экз. 1909 г.)

46. Доказать, что

?

J Pm (X)Pn (X) dx= О,

а

если тфп; при /я = я значение интеграла равно ^ д-.

47. Если @я(х)— многочлен степени я, обладающий тем свойством, что
Предыдущая << 1 .. 124 125 126 127 128 129 < 130 > 131 132 133 134 135 136 .. 191 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed