Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
(Экз. 1936 г.)
28. Если x* = vw, у2 = wu, z* = uv и f (х, у, г) = ср(и, v, w), то
xfx +yfy + zfz — Щи. + V'U + Щ&
(Экз. 1933 г.)
29. Найти CPy(O, 0), если
<?(х,у)— xs+y*
когда X и у не равны одновременно нулю, и ср(0, 0) = 0; объяснить, почему соотношение ср(х, _у) = 0 не определяет у как однозначную функцию от х в окрестности начала координат.
(Экз. 1928 г.)
30. Пусть ср (и, V, х, у) однородна со степенью 2 относительно и и г»; положим срц = р, Cp10=^. Пусть ср(м, у, х, у), выраженная через р, q, х, у, есть А (р, q, х, у). Доказать, что
(Зкз. 1936 г.)
[По теореме Эйлера (пример 12), нср„ -4- v<fv = 2* или /ш-f </г> = 2ф, если н и f выражены через />, х, у. Следовательно,
u+pup + qvp = yjp.
по
— <Ри«р + 9•»»P = + avv и значит 6р = «. Остальные результаты доказываются аналогично.]
31. Если я>0, ас — > 0, и X1^x0, то
? _ 2_ arc te (^-^У^Д^'
J ах* + 2Ьх+с 1/дс—s «X1X0 -f- Ъ (X1 + х„) + с '
х„
где значение арктангенса лежит между 0 и т.1).
336
Глава седьмая
32. Вычислить интеграл
J'_sin a dx 1 — 2х cos a -f- Xі
-1
Для каких значений а этот интеграл является разрывной функцией от а?
(Экз. 1904 г.)
[Значение интеграла равно г., если 2п~<а<. (2п -f- I) л, н —у ir, если (2й— 1) і: < а < 2п~, где « — любое целое число; прн а кратном ~ интеграл равен 0.]
33. Если ах* -\-2bx -\- О 0 для X0 х ^ X1, / (X) = У'ах* + 2Ьх~с
н
y=f(x), уа = /(х0), yl = f(xl), X=^f,
У і і~ У о
то
x0
если 'а положительно, и
(• 1,1 +XVa
I--= —T=In —---к— ,
J .У ]/a I _ЛГ]/а
если а отрицательно, где значение арктангенса лежит между 0 н "
X
^Подстановка t = * ^ *° приводит интеграл к виду 2 J* ^ ^s-J
34. Доказать, что
а
dx
35. Если а > 1, то
и
(Экз. 1913 г.)
1
( V±Z^Ldx=,(a-y^i). Ja — л- '
— і
36. Если р > 1, 0<а< 1, то і
_ dx____ 2<о_
о '^{I + (рг — 1) X} {I — (1 - а-)х} ~ (P+~q)siu^ '
где <и обозначает положительный острый угол, косинус которого равен
¦+M ~p + q'
1
Дополнительные теоремы 337
2я
Г sin* в de Ir., ,--
J J=Fc3Te==3«(e-Ka,-*,)-
о
_ (Экз. 1904 г.)
38. Доказать, что если а> j/6s-f-es, то
} т _ ._г__ у а* —р — с*
J a + b cos 8 +с sin в !/"да _ __ сїт arctg с
где значение арктангенса лежит между Оиіг.
39. Доказать, что если т :?= I и
*/i K/s
/mi „= Jsinm X cos ях dx, JOT) я = Jsinm X sin ях dx, о о
to
(« + «)7«. n=&in 2m-mJm-\,n-i> и выразить /m n через /m_2, n—2 ПРИ. w=>2.
(Экз. 1933 г.)
40. Доказать интегрированием от 0 до ~ неравенств
1 — sinan-'x I — sin*" х_ ^ 1_— sin»»+^x 2я — 1 > 'In" >- 2«+"I с помощью результата примера LXV1. 10, что (. . 2п — 1 \ 4/1
где
„ - 3J^-^п+1) Р"~~ 2-4... 2я
(Эагз. 1924 г.)
41. Найти рекуррентную формулу для
^ sjn^-1BdG 6
и вывести, что
1 = cos X + у cos X sinax +... -j- -(2я^Г2) cos х + Гп'
, 1 sin3a , , 1-3...(2« —3) sin^-'o , „ а = sra* + 2 -З" + • • • + 274^7(?—2) 2Я-1 + *»'
где
3-5... (2я —1) ? . .„ 10 г"= 2-4...(2п-Г2) J Sm8 18 (
I de
о
37. Если а > Ь > 0, то
22 Г. Харди
338
Глава седьмая
a a
Rn = J rndx = 2??} J(«—v)-in—¦.V^. о о
Доказать, что л: + a cos х ^ а, если U ^ л" =?: а Sg: — к, и вывести от-
сюда, что
Ь3...(2я —1) .
(Экз. 1924 г.)
42. Доказать с помощью подстановки УI -f- Xі =(1 -f-xs)costp или иным
путем, что
1 — Xі dx _ гс
1 + Xі у Y^xJ — 41^2 '
(Зкз. 1923 г.)
43. Если /(лг) непрерывна и не принимает отрицательных значений и
J/(x)d\v = p,
то /(л:)= 0 для всех значений х между а и д. [Если бы f (х) принимала, например, пр* X = ?, положительное значение к, то мы могли бы, в силу . непрерывности f(x), найти такой интервал (? — S, ? + S), в котором
/(•*¦)> Tj-А; но Т0ГДа значение интеграла превосходило бы SA.]-
44. Неравенство Шварца. Доказать, что
[Заметим, что
j «<i> dx J J tfVx J 4<s dx
U UOt'
J (Xtf + ^dX = X8 J <f»dx + 2X(j. J" cpildx + JJ.2 j 4-2dx
a a a a
не может быть отрицательным. Это неравенство может быть также получено как предельный случай неравенства Коши (гл. I, Разные примеры, 10).] 45. Если
р*<*)=&{{х -а) {? -Х)Г'
то Pn (х) является многочленом степени п и обладает тем свойством, что
J Р„(х)Ь(х)
dx = 0,
где 9(х) — любой многочлен степени меньшей п.
[Проинтегрировать «-4-І раз по частям, где m—степень в(х), и учесть, что 6(«+I)(X) = O.]
Дополнительные теорема 339*
л
и, следовательно,
ij (Qn-^PnYdX=O.
Далее применить результат примера 43.]
48. Если <р (х) — многочлен пятой степени, то 1
§<t(x)dx = і {5 <р (a) + 8 <р Щ + Ap(P)J, о
где аир являются корнями уравнения х2 — x-f-^ = 0.
(Экз. 1909 г.)
46. Доказать, что
?
J Pm (X)Pn (X) dx= О,
а
если тфп; при /я = я значение интеграла равно ^ д-.
47. Если @я(х)— многочлен степени я, обладающий тем свойством, что