Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Харди Г.Х. -> "Курс чистой математики" -> 122

Курс чистой математики - Харди Г.Х.

Харди Г.Х. Курс чистой математики. Под редакцией Солнцева Н.Я. — М.: Иностранной летературы, 1949. — 512 c.
Скачать (прямая ссылка): kchm1949.djvu
Предыдущая << 1 .. 116 117 118 119 120 121 < 122 > 123 124 125 126 127 128 .. 191 >> Следующая


Фиг. 44

Покажем теперь, что ни одно значение s не может превосходить ни одного значения S. Пусть s, 5—суммы, соответствующие a s', S' — суммы, соответствующие 5' и s'ssS.

одному разбиению интервала другому разбиению. Нам надлежит показать, что s

Мы можем образовать третье разбиение интервала, взяв в качестве точек деления все точки, которые являются таковыми для s, S и для s', S'. Пусть s, S обозначают суммы, соответствующие этому третьему разбиению. Тогда легко видеть, что

sSss, sSss', S=SS, Ss=S'. (1)

Например, s отличается от s тем, что по крайней мере один интервал 8„ встречающийся в s, разделен на некоторое число меньших интервалов

Дополнительные теоремы

309

так что слагаемое wr,Sv из s заменяется в s суммой

m'i,l^,l + »*уА,2 H----+ Я1ч,рКр,

где AMv1, т-, 2, ... обозначают точные нижние грани /(#) в 8Vi18Vi2i

Но очевидно, что яхч, OTv25amv.....так что выписанная

сумма не меньше /rev8v. Следовательно, s^s, и другие неравенства (1) могут быть установлены таким же образом. Но так как sssS, то мы имеем:

s s =S S =5 S',

что и требовалось доказать.

Отсюда следует, что j'^J. Действительно, мы можем найти значение s, как угодно близкое к j, и значение S, как угодно близкое к J1J, так что из jследовало бы существование таких s и S, что s ^> 5.

До сих пор мы не пользовались непрерывностью f (х). Покажем теперь, что J = Ja что суммы s и 5 стремятся к пределу J, когда число точек деления к* неограниченно возрастает таким образом, что все интервалы 8V стремятся к нулю. Точнее: мы покажем, что для любого заданного положительного числа s можно найти такое 8, что

OsS/—s <є, OsS 5— У<є,

если 8V<^8 для всех значений v.

По теореме II п. 107, существует число 8 такое, что

если только каждое 8V меньше 8. Следовательно, 5 — S = Z(M, — wv)Sv<e.

Но

S-S = (S-J) + (J-j) + (j-s),

где все три слагаемых в правой части положительны (или равны нулю); следовательно, каждое из них меньше е. А так как J—j есть постоянная величина, то она должна быть равна нулю. Таким обра-, зом, J = J и Q^j— s<^s, OsSS — J<CS> что и требовалось доказать.

Мы определяем площадь N1NPP1 как общий предел s и S, т. е. принимаем за эту площадь число J. Легко придать этому определению более общую форму. Рассмотрим сумму

где /, обозначает ,значение f(x) в некоторой точке интервала 8V. Тогда очевидно, что /, лежит между тч и M-, и, следовательно,

') Эти значения s и S не будут, вообще говоря, соответствовать одному и тому же разбиению интервала.

310

Глава седьмая

о стремится к пределу J, когда интервалы 8, стремятся к нулю. Поэтому мы можем определить площадь как предел сумм о.

162. Определенный интеграл. Предположим, что f(x)— непрерывная функция, так что область, ограниченная кривой y = f(x), ординатами х = а и х=Ь и осью х, имеет определенную площадь. В п. 148 гл. VI, мы доказали, что если F(х) является „интегралом" от f(x), т. е. если

F'(X)= f(x), F(x)= J/(л;) dx,

то площадь этой области равна F (b) — F (а).

Так как не всегда возможно найти вид функции F (х), удобно иметь формулу, представляющую площадь N1NPP1 и не содержащую в явном виде F(х). Мы будем писать:

ъ

(N1NPP1) = ^ f(x)dx.

а

Выражение в правой части этого равенства может рассматриваться с двух точек зрения. Можно рассматривать его как сокращенное обозначение для разности F(b) — F (а), где F (х) является некоторым интегралом от f(x), независимо от того, известна ли явная формула для этой разности или нет, или же можно рассматривать этот символ как обозначающий площадь N1NPP1, определенную в п. 161. Число

b

jjf(x)dx

а

называется определенным интегралом; а и b называются его нижним и верхним пределами; f(x) называется подинтегральной функцией и, наконец, интервал (а, Ь) называется интервалом (или областью) интегрирования. Определенный интеграл зависит только от а и b и вида функции f(x); он не является функцией от х. С другой стороны,

F(x) = j f(x) dx

иногда называется неопределенным интегралом от f(x).

Различие между определенным и неопределенным интегралом не затрагивает существа этих понятий. Определенный интеграл

ь

J f(x) dx=?F(b)-F(a) а

Дополнительные теоремы

311

является функцией от Ь и может рассматриваться как некоторый интеграл от функции f(b). С другой стороны, неопределенный интеграл F(x) всегда может быть выражен через определенный интеграл, так как

x

F (X) = F (a)+ J f{t) dt.

а

Но когда мы рассматриваем „неопределенный интеграл", то обычно имеем н виду некоторое соотношение между двумя функциями, в силу которого одна из иих является производной другой; рассматривая же „определенный интеграл", мы, как правило, не представляем себе его пределы изменяющимися.

Следует отметить, что интеграл

x

J f(t)dt

а

имеет дифференциальный коэффициент f (х) и поэтому заведомо является непрерывной функцией ОТ X.

Так как функция — непрерывна для всех положительных значений х,

рассмотрения предыдущих пунктов содержат доказательство существования функции In л; (см. п. 131).
Предыдущая << 1 .. 116 117 118 119 120 121 < 122 > 123 124 125 126 127 128 .. 191 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed