Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
Фиг. 44
Покажем теперь, что ни одно значение s не может превосходить ни одного значения S. Пусть s, 5—суммы, соответствующие a s', S' — суммы, соответствующие 5' и s'ssS.
одному разбиению интервала другому разбиению. Нам надлежит показать, что s
Мы можем образовать третье разбиение интервала, взяв в качестве точек деления все точки, которые являются таковыми для s, S и для s', S'. Пусть s, S обозначают суммы, соответствующие этому третьему разбиению. Тогда легко видеть, что
sSss, sSss', S=SS, Ss=S'. (1)
Например, s отличается от s тем, что по крайней мере один интервал 8„ встречающийся в s, разделен на некоторое число меньших интервалов
Дополнительные теоремы
309
так что слагаемое wr,Sv из s заменяется в s суммой
m'i,l^,l + »*уА,2 H----+ Я1ч,рКр,
где AMv1, т-, 2, ... обозначают точные нижние грани /(#) в 8Vi18Vi2i
Но очевидно, что яхч, OTv25amv.....так что выписанная
сумма не меньше /rev8v. Следовательно, s^s, и другие неравенства (1) могут быть установлены таким же образом. Но так как sssS, то мы имеем:
s s =S S =5 S',
что и требовалось доказать.
Отсюда следует, что j'^J. Действительно, мы можем найти значение s, как угодно близкое к j, и значение S, как угодно близкое к J1J, так что из jследовало бы существование таких s и S, что s ^> 5.
До сих пор мы не пользовались непрерывностью f (х). Покажем теперь, что J = Ja что суммы s и 5 стремятся к пределу J, когда число точек деления к* неограниченно возрастает таким образом, что все интервалы 8V стремятся к нулю. Точнее: мы покажем, что для любого заданного положительного числа s можно найти такое 8, что
OsS/—s <є, OsS 5— У<є,
если 8V<^8 для всех значений v.
По теореме II п. 107, существует число 8 такое, что
если только каждое 8V меньше 8. Следовательно, 5 — S = Z(M, — wv)Sv<e.
Но
S-S = (S-J) + (J-j) + (j-s),
где все три слагаемых в правой части положительны (или равны нулю); следовательно, каждое из них меньше е. А так как J—j есть постоянная величина, то она должна быть равна нулю. Таким обра-, зом, J = J и Q^j— s<^s, OsSS — J<CS> что и требовалось доказать.
Мы определяем площадь N1NPP1 как общий предел s и S, т. е. принимаем за эту площадь число J. Легко придать этому определению более общую форму. Рассмотрим сумму
где /, обозначает ,значение f(x) в некоторой точке интервала 8V. Тогда очевидно, что /, лежит между тч и M-, и, следовательно,
') Эти значения s и S не будут, вообще говоря, соответствовать одному и тому же разбиению интервала.
310
Глава седьмая
о стремится к пределу J, когда интервалы 8, стремятся к нулю. Поэтому мы можем определить площадь как предел сумм о.
162. Определенный интеграл. Предположим, что f(x)— непрерывная функция, так что область, ограниченная кривой y = f(x), ординатами х = а и х=Ь и осью х, имеет определенную площадь. В п. 148 гл. VI, мы доказали, что если F(х) является „интегралом" от f(x), т. е. если
F'(X)= f(x), F(x)= J/(л;) dx,
то площадь этой области равна F (b) — F (а).
Так как не всегда возможно найти вид функции F (х), удобно иметь формулу, представляющую площадь N1NPP1 и не содержащую в явном виде F(х). Мы будем писать:
ъ
(N1NPP1) = ^ f(x)dx.
а
Выражение в правой части этого равенства может рассматриваться с двух точек зрения. Можно рассматривать его как сокращенное обозначение для разности F(b) — F (а), где F (х) является некоторым интегралом от f(x), независимо от того, известна ли явная формула для этой разности или нет, или же можно рассматривать этот символ как обозначающий площадь N1NPP1, определенную в п. 161. Число
b
jjf(x)dx
а
называется определенным интегралом; а и b называются его нижним и верхним пределами; f(x) называется подинтегральной функцией и, наконец, интервал (а, Ь) называется интервалом (или областью) интегрирования. Определенный интеграл зависит только от а и b и вида функции f(x); он не является функцией от х. С другой стороны,
F(x) = j f(x) dx
иногда называется неопределенным интегралом от f(x).
Различие между определенным и неопределенным интегралом не затрагивает существа этих понятий. Определенный интеграл
ь
J f(x) dx=?F(b)-F(a) а
Дополнительные теоремы
311
является функцией от Ь и может рассматриваться как некоторый интеграл от функции f(b). С другой стороны, неопределенный интеграл F(x) всегда может быть выражен через определенный интеграл, так как
x
F (X) = F (a)+ J f{t) dt.
а
Но когда мы рассматриваем „неопределенный интеграл", то обычно имеем н виду некоторое соотношение между двумя функциями, в силу которого одна из иих является производной другой; рассматривая же „определенный интеграл", мы, как правило, не представляем себе его пределы изменяющимися.
Следует отметить, что интеграл
x
J f(t)dt
а
имеет дифференциальный коэффициент f (х) и поэтому заведомо является непрерывной функцией ОТ X.
Так как функция — непрерывна для всех положительных значений х,
рассмотрения предыдущих пунктов содержат доказательство существования функции In л; (см. п. 131).