Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
9. Доказать, что если
Va
Un = j sin".v dx,
о
fi_l
то Un =---[Записать sin"* в виде sin"-1 хsinх и интегрировать по
частям.]
І0. Вывести из результата примера 9, что Un равно
2 «4 ¦6...(«- 1) l_ 1 >3 •5...(B-I)
3-5-7. ..Я ИЛИ 2 ~ 2-4-6...я '
в зависимости от того, является ли п числом нечетным или четным.
(Экз. 1935 г.)
Дополнительные теоремы 323
J f(x)'f[(x)dx=f(a) J <t(x)dx,
где X лежит между а и Ъ. Действительно,
/ (*) Ф (Ь) + {/ (а) -/(*)} Ф (5) = и-/ (а),
где |л лежит между Ф($) и Ф(Ь), и, следовательно, является значением Ф(х) для некоторого значения х = Х. Важным случаем является тот, при котором 0^/(J)^/(«)^/(a).
Доказать также, что если f(a) и f(b)—f(a) имеют одинаковый знак, то
о v
J /(X) <?(x)dx=f(b) J f(x)dx,
а
где X лежит между а и Ь. 13. Доказать, что
X'
s I 2 \<Х
'X если
[Применить первую формулу из примера 12 и учесть, что интеграл от sinx по любому интервалу по модулю не превосходит 2.]
I' sin X J X
11. Вторая теорема о среднем. Если f(x) является функцией от х с непрерывной производной, не меняющей знака в интервале от х = а до х = Ь, то между а и b найдется такое число ?, что
ь і ь
J" /(Jf)T {X) dx =/(a) J ср (X) dx + / (*) J <р (X) dx.
а а і
[Пусть
x
^(t)dt = $(x). а
Тогда
ь ь
j* f(x) <р (л:) rf* = J / (лг) Ф' (лг) dx ==
а а
Ь Ъ
—f(b) Ф (*) - J /' (лг) Ф (лг) dx =5/(*) Ф (*) - Ф (?) J /' (лг) dx, а а
по теореме (9) п. 165; следовательно, ь
J / (X) с? (a-) dx=/ (Ь) Ф (*) + {/ (а) - / (*)} Ф (6), с
что равносильно утверждению теоремы.]
12. Форма Бониэ второй теоремы о среднем. Если /' (х) непрерывна и не меняет знака, a f(b) и f(a)—f(b) имеют одинаковый знак, то
ь X
21«
324
Глава седьмая
14. Вывести результаты примера LXV. 1 с помощью подстановки. [Например, в (3) разделим интервал интегрирования на т равных частей и сделаем подстановки х = г.+у, лг = 2п+у,----]
15. Доказать, что
ь ь
j' F(x)dx= J F(a + b — x)dx.
16. Доказать, что
J* cosmxsin"2хdx =2~m J* cosmxdx. о о
17. Доказать, что
It TZ
j x<p (sin x) dx = -g- J* <p (sin л:) dx.
[Положить x = ~—y.] 18. Доказать, что
что
Jл: sinx. 'si в і j 3„ _---ux =--7-1?, І XSIn6XCOS4XdX=^i:2. 1 -[- cos2 x 4 J 512
0 ° (Экз. 1927 г.)
19. Показать с помощью подстановки * = ecos2O-f-0sin2e, что
ft
j Y(x — a)(b — x) dx=jT.(b — af. a
20. Показать с помощью подстановки (a + b cos а) (a — b cosy) = a" — **,
J (a ¦f b cos A)-" dx = (as - - *8)~(n ~~ 1/2) j (a — b cosy)"-1 dy, о u
если n — положительное целое число и а > | b \, и вычислить этог интеграл для и = 1, 2, 3.
21. Если т и и — положительные целые числа, то
ь
і (а- — аVя (* — х)" dx = (* - а)™+"+1,—^*1-, Ч1 J ' ' 7 (т+п+ 1)!
[Положить х = (?— a)y-}a и применить ргзультат примера 7.]
167. Доказательство теоремы Тейлора интегрированием по частям. Можно применить метод интегрирования по частям для доказательства теоремы Тейлора.
Дополнительные теоремы 325
Пусть f(x)— функция, первые п производных которой непрерывны, и пусть
Fn (X) =/(6) -f(x) - (Ь - X) f (X)-...- -^I^V-1) (х). Тогда
FnW=- l^ff/(Й) (*)
и, следовательно,
ft ft
Л, (a) = Л, (*) - J /V (*) rf* = (7г4ту, J' (о - ^)"-1 / W (х) Же.
а а
Если мы теперь будем писать a-j-A вместо о, и преобразуем интеграл подстановкой х = a -4-th, то найдем
/(a-f-A) =/(а) + А/' (а) +... + ^щ/^ (a) + Rn, (1)
где
1
Я» = -(^T)T J (1 - О"'1 /(п) (я + Щ dt. (2)
о
Если теперь р—¦ любое положительное целое число, не превосходящее п, то, по теореме (9) п. 165, мы имеем:
,1 1
J (1 -/)»-'/і») (a-4rth)dt==U\ — t)n-P(\-f)p-lf{n)(a-4rth)dt = о о
= (1— Of-PfC) (о + 6A) j'(l—9""1A,
0
где 0<^6<^1. Следовательно,
(1-Є)»-^/<")(а+6А) ft" *я_ р(Я-1)! ' {)
Если мы положим р = п, то получим формулу Лагранжа остаточного члена Rn (см. п. 152). Если же мы возьмем />=1, то получим так называемую форму Коши, а именно,
__ (1- 9Г1+6A) А" ^л--(я=Л)! • ( }
Это доказательство теоремы Тейлора обладает тем преимуществом, Что оно приводит к точной формуле (2) для Rn, которая не содержит неопределенного числа 9. Если его рассматривать просто как доказательство формулы Лагранжа для Rn, то оно дает менее общий результат, чем доказательство, приведенное в п. 150, так как мы предположили непрерывность /"*(*). Рассуждение п. 150 может быть видоизменено так, чтобы оно приводило к формулам (3), и (4),
326 Глава седьмая
168. Применение остаточного члена в форме Коши к биномиальному ряду. Если /(х) = (1 -f-х)"1, где т не является положительным целым числом, то остаточный член в форме Коши имеет вид
р _ и (и — 1)...(1» —л +1) (1—Є)"-'*" Кп~ 1-2...(»— 1) (1 + Ъх)п-т'
Н° -/ п~ меньше 1, если —1<х<1 (независимо от того, положительно I -f- Bx
X или отрицательно); (1 4-6x)ra_1 < (1+) х |)га-1, если /и>1, и (1 + Ox)"1-1 < <(1—\х\)т~1, если m< 1. Следовательно,