Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
ь h ь
j fdx = j 9 dx -j- і J <j, tf* = lim v <рч8ч + г lim V ^.Д, —
а а а
= lim 2 (9v + 4*) 8v = um 2A5v
и, следовательно,
J j fdx = I lim S/vgv I — Hm | 2/А |,
330
Глава седьмая
РАЗНЫЕ ПРИМЕРЫ К ГЛАВЕ VII I. Проверить выписанные члены следующих рядов Тейлора:
*1 2
(1) tgx = x+ J5^5 + ...,
(2) secx=l + j,-*3 -I 24•»¦¦H-...,
1 7
(3) X cosec X= ! + ? X2 + ш хЧ
(4) X ctg x=l - д .rs
1
45'
2. Показать, что если /(х) и ее первые я +2 производных непрерывны, /C+1J(O)^O, и 0„ является значением 9 в остаточном члене ряда Тейлора в форме Лагранжа для я членов, то
1
4-
/(»+») (0)
" п + 1 1 2 («+ 1)4« + 2) /("+')(0) [Следовать примеру, примененному в примере IV. 12. 3. Вывести формулы
x + о (х).
(О
/(«) /(*) Я (a) g(b) где р лежит между а и 6, и
/(«) /(*) /(с) (2) 5-(а) g(b) g(c) h(a) h(b) h(c)
= (*-- а)
/(«) H?) j g(a) g'Q) \'
= T(A-c)(c-
-a)(e —6)
/(«) /'(?) /"(Y) *(e) ?'(?) g"(X) h(a) A'(P) A"(7)
где p я у лежат между наименьшим и наибольшим из чисел а, Ь, с.
[Для доказательства (2) рассмотрим функцию
f(a) /(A) /(X) 9 (х)= g(a) g(b) g(x) А (а) h(b) A(X)
(х — а) (х — А)
(С_д)(С_А)
/(а) /(А) /(с)
Я (о) ?(*) #(с) А (а) A(A) А(с) :с. Ее первая производ-
которая обращается в нуль при х=а, х = А и х =
ная должна обратиться в нуль при двух различных значениях х, лежащих между наименьшим и наибольшим из чисел а, А и с (по теореме В п. 122); отсюда следует, что ее вторая производная обращается в нуль при некотором значении X = ?, удовлетворяющем тому же условию. Таким образом, мы получаем формулу
f(a) f(b) /(с)
S (a) g(b) g(c) А (о) h(b) A(c)
1
^-(C-O)(C-A)
/(«) /(*) /"(T) g(a) g(b) g"(l) h(a) A(A) A"(7)
Доказательство теперь может быть легко доведено до конца.
4. Если F(x) имеет непрерывные Производные первых я порядков, из которых первые я —1 'обращаются в нуль при х = 0, a A ^ F^ (х) ^B для 0 ss; X s?? А, то
А
¦.F(X)^B
Дополнительные теоремы 331
АА 9 W = S (- 1У (*) 1P (X + ГА) = (- я)" 9<"> (I),
г=0
где $ лежит между X и х-\- nh. [Рассмотреть вспомогательную функцию Ф(^ = А^(а)-(4)"а^(а-).
h j
Пример LXV1I. 1 по существу является частным случаем п = 2.)
6. Вывести из примера 5, что
хп-тьпхт__ in(m — 1)... (от — я + 1) Л"
при л:—оо, где т — любое рациональное, а я —любое целое положительное число. В частности доказать, что
a Vx{ Vx-2 J/a+~1 + j/A+1} — — ~.
7. Допустим, что _у = ср(л-) имеет непрерывные производные первых четырех порядков н что ср(0) = 0, ср'(0)==1, так что
у = ср (х) = X + агх* + o3a8 + я4л-* 4- о(а-*).
Доказать, что
a = ii (у) =у — а3уг + (2а( — as)ys — (5а| — 5я2я„ + at)y* + о (у')
и что
ср(а-)ф(а) — а8
прн Jf —> 0.
8. Координаты ((•, ¦»)) центра кривизны кривой x=f(t), y = F(t) в точке (а, у) определяются "нз соотношений
_ ь~ х — — +-У"
у' X' х'у" — х"У '
а раднус кривизны равен
(х'* +y'*fh х'у"—х"у' '
где штрихи обозначают дифференцирования по /.
9. Координаты (?, *i) центра кривизны кривой 27ядг2 = ^ в точке (х, у) определяются нз уравнений
За(6 + лс)+2х» = 0, yi = 4>- + ^.
(Экз. 1899 г.)
для О ssS X sg; Л. Применить этот результат к функции
/ (X)-f(0)-xf(0)-...--glL /Or-D (0)
н вывести отсюда формулу Тейлора.
5. Если ДАср (л:) = tp (л-) — tp (а- + К), Дяс? (л-) == Дй {Дйср (а)} н т. д. н ср (а) имеет производные первых п порядков, то
<— IV-I .
332
Глава седьмая
10. Доказать, что круг кривизны в точке (лг, у) будет иметь касание третьего порядка с кривой, если (1+Уі)Уз = 3у(уі в этой точке. Доказать также, что окружность является единственной кривой, которая обладает этим свойством в каждой своей точке* н что единственными точками конического сечення, в которых это имеет место, являются его вершины.
[Си. гл. VI, Разные примеры, 13 (4).]
П. Коническим сеченнем, имеющим в начале координат касание наивысшего порядка с кривой
у = ах- + Ьх3 + сх1 + ...+ kxn,
является
а'у = alx* + аЧху + (ас — у*.
Вывести, что коническим сеченнем, имеющим в точке (?, Y)) касание наивысшего порядка с кривой у =/(лг), является
18т,j Г= Qr1« (X - Є)2 + 6^? (х-Ъ)Т + (3r,sY,4 - 4T1J) Р,
где г = (у —ї|) —ї|і(дг —5).
(Экз. 1907 г.)
12. Однородные функции1). Если
х- ¦
то а не изменяется, не считая множителя X", когда х, у, г, ... все возрастают в отношении ).:1. В этих условиях и называется однородной функцией степени п относительно переменных х, у, г, .... Доказать, что для такой функции
ди , ди , ди , X -ц— -4-У "3" + 2 + ... = ям. дх J ду 1 дг 1
Этот результат называется теоремой Эйлера об однородных функциях.
13. Если и — однородная функция степени я, то их, иу, ... однородны степени я— 1.
14. Пусть /(лг, у) = 0 представляет собой некоторое соотношение между X и у (например, хп+уп — лг = 0) н пусть F(x, у, г) = 0 будет это же соотношение, приведенное к однородному виду заменой единицы третьей неременной г (например, х" +уп — хгп~l = 0). Показать, что уравнение касательной к кривой /(лг, у)=0 в точке (?, Y1) имеет внд
