Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
|ЯЯ|<|«|(1 ± IxIr-1I(^z!) 11*1 " = Pir
Но р„— 0 при и —со, согласно результата примера XXVII. 13, и /?„—>(). Справедливость биномиальной теоремы, таким образом, установлена для всех рациональных значений т и всех значений х между ¦— 1 и 1. Напомним, что применение формы Лагранжа наталкивалось на затруднения в связи с отрицательными значениями х (см. (2) п. 152).
169. Приближенные формулы для определенных интегралов. Правило Симпсона. Существует ряд приближенных формул для определенных интегралов, которые играют важную роль в вычислениях. Простейшей из них является следующая:
ь
j f(x)dxsa±(t>-a){f(a)+f(b)}. (1)
а
Здесь мы заменяем площадь P1N1NP (см. п. 148) площадью трапеции P1N1NP, и формула точна, когда /(х)—линейная функция. Можно показать (см. пример LXVII. 2, стр. 328), что если /(х) имеет производные /'(х) и f" (х), то ошибка в (1) равна
_^(*_а)»Г(«),
где ?— некоторое значение х между а и Ь. При практических вычислениях мы должны, конечно, разбить интервал интегрирования на небольшие участки и применить эту формулу к каждому из них в отдельности.
Значительно лучшей формулой является
ь
J f(x)dxe* I (*_а){/(a) +4/(^-)+/(*)}. (2)
а
Эта формула известна под названием правила Симпсона. Мы докажем, что если /(х) имеет четыре производных /'(х), f" (х), /"' (X) и /Iv(x), то ошибка в (2) равна
-2Wu(^W)
Дополнительные теоремы 327
9"(0 = -д- {/(ь + 0-/'(с-0}-
l'l/"HOI/"(^<)i-f ,(4),
9"' (0 = - -J-1 {Г (< + 0—/"' (с - О } - ^гЧ (а)-Следовательно, по теореме о среднем,
9"'(0 = -!*'{/,va) + ^(A)}, (3)
где t; лежит в интервале (с — t, с-)-0-
Но так как 9 (0) = 9 (А) = 0, то, по теореме Рол ля, 9'(^1) = 0 для некоторого г,, лежащего между 0 и А. Так как и 9'(0) = 0, то 9"(г2) = 0 для некоторого ^2, лежащего между 0 и г,, а следовательно, и подавно между 0 и А. Наконец, 9"(O) = O и поэтому 9"' (^3) = 0 для некоторого г3 между 0 и А. Из (3) теперь следует, что
/•v(?) = -j?«KA)
для некоторого і между с — tb и с+-г3, т. е. во всяком случае между с — А и с+-А. Это равенство может быть записано в виде
c + h
J f(x) dx - і. А {f(c + А) + 4/(C) +/(с - А)} = - g/tv (Q
с — А ИЛИ
ь
]*/(*) cfx = {-{Ь- а) [/(а) +- 4/ -+/(с) J - (-^VIV (?)•
для некоторого 5 между а и b. В частности, это показывает, что
правило Симпсона дает точный результат для многочленов третьей и низших степеней.
Будем писать с — A, c-\-h вместо a, b и рассмотрим функцию
9(0 = Ф(0-(х)Ч(А).
где
t M
-І (0 == j f(x) dx - з / { /(t -f 0 + 4/(t) +/(с - О}.
с — t
Дифференцируя три раза, найдем, что
9'(O= I +0-2/(r)+/(C-O}-
- \ ЦҐ (<<' -И) - /' (с - 0} - fr Ф («).
328 Г лава седьмая
H-A=
О
[Результат равен 0,7833... . Если мы разложим интеграл иа два — от 0 11,
до 2 и оту до 1 и применим правило к каждому из них, то получим результат 0,7853916... . Точное значение равно 0,7853921 ... .] 5. Показать, что
5
8,9 < j V4 + x* dx<9.
(Экз. 1903 г.)
6. Применить правило Симпсона с пятью ординатами к вычислению
2 _
IVх- xdx
1
с точностью до двух знаков. (Экз. 1934 г.)
7. Показать, что приближенное значение
4
j x*y4x^xs dx
равно 0,88. ° (Экз. 1933 г.)
При практических вычислениях мы опять разбиваем интервал интегрирования на части и применяем правило Симпсона к каждой части.
Примеры LXVH. 1. Доказать, что если /(а) дважды дифференцируема, то f(x + h)- 2/(A-) + /(*-*) = A»/'' (?),
где ? лежит X —Ii и X h.
(Экз. 1925 г.)
[Рассмотреть вспомогательную функцию
7 (0 =/ (A -J - 0 - 2/ (A") + / (X - t) - (-^2 { / (A + h) - 2/(A) + / (А--К) } .]
2. Доказать, что ошибка в формуле (1) настоящего пункта равна
~І2{Ь~~ 0)3 f" где а<^<Ь-
[Рассмотреть вспомогательные функции c + t
ф(*) = J /(-v)rfA -/{/(с-г-0+/(с-0}. 9(0 = *(')-(-?-)*И*)-]
г- і
3. Доказать, что
г,
J / (a) dx = (6 - а) / ] + і (6 - а)3/" (5),
а
где a < I < 6.
4. Применить правило Симпсона к вычислению г. по формуле
1
Дополнительные теоремы 329
іогда как
f 1/1^ = 1^21/,1?
Утверждение теперь следует из неравенства
!2/ANm 8,.
Очевидно, что формулы (1) и (2) п 167 остаются в силе, когда/
ЯВЛЯеТСЯ КОМПЛекСНО-ЗНаЧНОЙ функцией <f-\-lif.
1) Соответствующее неравенство для действительных интегралов было доказано в примере LXV. 12.
170. Интегралы от комплексных функций действительного переменного. До сих пор мы всегда предполагали, что подинте-гральная функция в определенном интеграле действительна. Определим интеграл от комплексно-значной функции / (лг) = ср (х) -4- Щ (х) действительного переменного X в пределах от а до А уравнениями
ь ь ь ь
J f(x) dx = J {ср (л:) -}- (X)} dx = j со (л:) dx j- г j ф (л:) с?лт;
очевидно, что свойства таких интегралов могут быть выведены из уже рассмотренных свойств действительных интегралов.
Одним из этих свойств мы в дальнейшем воспользуемся. Оно выражается неравенством ')
ь ь
I JJ \f(x)\dx. (1)
а а
Это неравенство может быть легко выведено из определений, данных в пп. 161 и 162. Если Sv обозначает то же, что и в п. 161, a cpv и —-значения «о и ф в некоторой точке 8,, и /,,=cpv —j— /^*v» го
