Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
163. Площадь сектора круга. Круговые функции. Теория тригонометрических функций cos х, sin X и т. д. в том виде, в каком она излагается в учебниках элементарной тригонометрии, основывается на одном недоказанном предположении. Углом называется конфигурация, состоящая из двух полупрямых OA, OP; не представляет труда перевести это „геометрическое" определение на язык анализа. Принимаемое предположение состоит в том, что углы можно измерять, т. е. что существует действительное число х, сопоставляемое этой конфигурации так же, как некоторое действительное число сопоставляется области в п.148.Если это принять, то cosx и sin x могут быть определены обычным образом, и в дальнейшем развитии теории уже больше не встречается никаких принципиальных трудностей. Все затруднение содержится в вопросе: что представляет собой X в cosx и sinx? Чтобы ответить на этот вопрос, мы должны определить меру угла, и теперь мы в состоянии это сделать. Наиболее естественным было бы следующее определение: пусть AP будет дуга окружности с центром в О радиуса 1, так
Фиг. 45
312
Глава седьмая
что OA = OP= 1. Тогда х, мера угла, есть длина дуги АР. В основном это — то определение, которое дается в учебниках, когда рассматривается „радианная мера". Для наших целей это определение имеет, однако, один существенный недостаток: дело в том, что мы не доказали существования длины дуги кривой, даже в том случае, когда эта кривая — окружность. Понятие длины дуги кривой может быть подвергнуто такому же точному математическому анализу, как и понятие площади; однако, соответствующие рассмотрения, хотя они и имеют тот же характер, что и рассмотрения предыдущих пунктов, значительно сложнее, так что провести их здесь не представляется возможным.
Мы должны поэтому основывать наше определение не на понятии длины, а на понятии площади. Мы определяем меру угла AOP как удвоенную площадь сектора AOP единичного круга.
Допустим, например, что OA лежит на оси х (у = 0) и что OP есть прямая у = тх, где т ^> 0. Площадь сектора является функцией от т, которую мы обозначим через 9 (т). Точка P имеет координаты (р., тр.), где
r-x—^= m==VIEE
и
і і
Ф(«) = 1 ту? -f- J/1—dx= у р, ]/1 — p.2 + J / Г^-х2dx.
Следовательно,
de 1 /---o [а2 /;--5 1
dtp_dtp djj._^ 1 m _ 1
dm~ dp 1m~2 УТ^Ї? (l + m2)3/2 "~~2(1 + ots7
и, таким образом,
m
. . 1 г dt о
Аналитическим аналогом нашего определения является, следовательно, определение arctg m уравнением
m
, . С dt arctgm = j ГТ7Г.
Теория тригонометрических функций, исходящая из этого определения, изложена в гл. IX.
Дополнительные теоремы 313
п + 1 ь
„ P , sin тЬ — sin та Г .
2. I совтлгалг =--: I sin
J » J
sin mo—sinтя P . . cos та—cos mb
--- mxdx =-,
т
і
b 1
1
-г Т.
3- J Г+^^агс tg * - arc tg a; J
а О
[Здесь мы встречаемся с некоторым затруднением, связанным с тем, что arc lg лг яцляется мвогозначной функцией. Это затруднение можно устранить, если заметить, что в уравнении
J r+F==arctg-*r
arctgAT должен обозначать угол, лежащий между —і тг и у тт. Действительно, интеграл обращается в нуль при х = 0 и монотонно и непрерывно возрастает с возрастанием лг. Таким образом, то же должно иметь место
для arctgAT, который, следовательно, стремится к -І тг при лг —>oo. Таким
же образом мы можем показать, что arc tg д: —і-тгприлг —>—оо. Аналогично, в уравнении
x
С dt
I__= arc sin лг,
і Vi-'2
где — 1 <лг< 1, arc sin лг обозначает угол, лежащий между — к и ~ тт.
Следовательно, если а и b по модулю меньше единицы, то ь
С dx . , . .
I =ягг. sing — arc sin «.1
J Yl-Xі
4.
+2лгсо5а+лг8 2sina '
б
если —я<а<7г, за исключением того случая, когда а = 0; в этом случае интеграл равенчто является пределом —. при а—. 0.
Z " Sl Il Ct
5. ^y\ZZ~^dx = ~ т.; JyV^-**5 Же = j*as,
о о
если а > 0.
Примеры LXIII. Вычисление определенных интегралов с помощью неопределенных. 1. Показать, что если 0>я^О и « > — 1, то
ь
j x"dx-
314
Глава седьмая
і
6. I , равен 2, если — 1 <а< 1-й —, если І а I > I.
і а
(Экз. 1933 г.) dx 7г
:-f-*cosx vV—* О v
если a > I b |.
[Вид неопределенного интеграла установлен в примерах LIIL 3 и 4. Если I а I < І Ь I, то подйнтегральная функция обращается в бесконечность между 0 и тт. Чему равен интеграл, когда а отрицательно и — а > | й | ?]
8. ''
COS2 at -f- b- sin2 at 2вй '
б
если а и b положительны. Каково значение интеграла, когда в и b имеют разные знаки или когда они оба отрицательны?
9. Интегралы Фурье. Доказать, что если т и я— положительные целые числа, то
2*
J
cos тх sin tlx dx
б
всегда равен нулю, и что
2тс 2тс
J" cos тх cos ях dx, j sin тх sin их dx о о
также равны нулю, если т~ф.п, а при /я== и каждый равен тт.
10. Доказать, что интегралы J* cos тх cos пх dx и ^ sin /их sin ttxdx
о о
равны нулю, если т ф Я, и каждый равен -^- т:, если /я = я; а также, что если я — /я нечетно, то
