Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
150. Теоремы о среднем высших порядков. В п. 126 мы доказали, что если /(лг) непрерывна для gsSTatsSo и имеет производную в интервале а<^х<^Ь, то
/(*)-/(*) = (* —*)/(0. где a<^l<^b, или что
/(0 + /1)-/(0) = /1/(0 + 64/1), (1)
где 0<61<1.
Наложим теперь на /(лг) дальнейшие ограничения. Мы предположим, что / (л:) непрерывна для о ^ х b и что /" (л:) существует для о<^лг<^Ь. Рассмотрим функцию
/(*)-/ (X)— (b-x)f (X) - 2 {/(*) -/(о) - (* - a)f (а)}.
Эта функция обращается в нуль при л: = а и при лг = й, и ее производная равна
1/(*)-/(")-(b-a)f(a)-j(b-o)V (о)};
это выражение должно, следовательно, обращаться в нуль при некотором значении X между о и Ь. Поэтому существует такое S между о и ? = а + 82(? — а), где 0<^8a<^l, что
f(b) =/(а) + (* - о)/ (о) + j (* - а)2/' (5).
Если мы положим й = а + А, то получим равенство
/(а + К) =/(о) + А/' (о) + !*•/> + в,*), (2)
которое является выражением так называемой теоремы о среднем второго порядка.
Относительно /' (лг) мы предположили то же, что мы предполагали относительно ср (лг) в п. 126, т. е. непрерывность в замкнутом и дифференцируе-мость в открытом интервале (a, b). В частности, мы предположили суще»
282 Глава седьмая
ствоваиие /'(а) и f'(b), а это предположение, вообще говоря,содержит высказывания относительно значений f(x) для значений х, лежащих вне интервала (а, Ь) слева от а и справа от b. В приложениях f(x) может оказаться не определенной вне (a, b). В таких случаях под/'(а), например, следует понимать
Hm /(" + *)-/(«).
л-. + 0 h
Такое определение не зависит от значений х вне (а, Ь). Это замечание вполне аналогично тому, которое было сделано относительно непрерывности в конце п. 99.
Подобное обстоятельство возникает относительно высших производных и в следующей теореме.
По аналогии с (1) и (2) мы приходим к следующей теореме.
Теорема Тейлора или общая теорема о среднем значении.
Если /1"'1I(X) непрерывна для a ^x ^b и /(") (х) существует для а<^х<^Ь, то
f(b) =f(a) + (* - а) / (а) + -^=T1/' (а) +... +
где а<^\<^Ь, и если b = a-\-h, то
/(а + Щ = /(а) + hf(a) +1 /V/' (а) +... +
где 0<8„<1.
Непрерывность /("""1J (х) естественно влечет за собой непрерывность f(x), f'(x), /С"2) (x).
Доказательство проводится аналогично тому, как мы это делали в случаях я = 1 и я = 2. Рассмотрим функцию
рЛх)-{^а)ПРп(а),
где
и =/(*)-л*)-(*-*)/'w• --{\nS)l\ f[n'l)
Эта функция обращается в нуль при X= а и при х = Ь\ ее производная равна
я (»-jc)»-' fF (» - я)" wn) , .\
(*-«)» \f«(а)--w-f[ ){х)\'
и между а и b должно существовать значение х, для которого это выражение обращается в нуль. Отсюда сразу следует утверждение теоремы.
Дополнительные теоремы 283
[Так как
J_ __J_ __Л , Л>_ , (—If-1A"-1 , (—1)"Л"
x-f-A x ха 1 x3 г х" 1 х" (x+ A)'
то достаточно показать, что х"(х + Л) может быть представлено в виде (x-T-OnA)"+1 или что Xя (x-j- А) лежит между х"+1 и (х + Л)"+1].
3. Вывести формулу
Л* А3
sin (х -)- Л) = sin x -)- A cos x — 2у sin -*- gj- cos х +... +
+ (5ГГЇ)! Cos * + (- !>" ? sin (* +
соответствующую формулу для cos (х 4-Л) н аналогичные формулы, содержащие степени Л до Л2"+1.
4. Показать, что если т — положительное целое число и я— положительное целое число, не превосходящее т, то
(Х 4- й)« = x« 4- хст-'Л 4-... +^ ™ j ^-«+1A"+1 6nA)m-"ft".
Показать также, что если интервал (х, х + Л) не содержит точку х=0, то эта формула имеет место для всех рациональных значений т и всех положительных целочисленных значений я, и что даже если х<0<х+Л или лг+Л<0<х, то формула имеет место, если т — я положительно.
5. Формула
/(лг +Л)=/(х)+ ft/'(x+ G1A) не имеет места, если /(x)=j-h х<0<х+Л. [Ибо
/(х+Л) -/(*)> 0
и
A/4^ + e1A) = -(-J-A^<0.
Ясно, что в этом случае условия теоремы о среднем не выполнены.]
6. Если x = — a, A = 2а,/(x) = x1/3, то уравнение
/ (x + А) =/ (x) + Л/ (x + M)
удовлетворяется при S1=-^-dt №Т0Т пример показывает, что утвер-
ждение теоремы может иметь место и в том случае, когда, условия, при ко» торых она была доказана, не выполняются].
Примеры LV. 1. Предположим, что /(х) —многочлен степени г. Тогда /(") (х) тождественно равно нулю, если п > г, и теорема приводит к следующему алгебраическому тождеству:
f(a + Л) =/(я) + hf (a) + |* Г(а) +... + ^ /W (а).
2. Применяя теорему к функции /(x) = j-h предполагая, чтох и х + А
положительны, мы получаем следующий результат:
1 _ 1 А і A* (-1)"-'?"-1 ¦ (—1)"?"
х + Л x ха 'x3 *"+ х" ' (х + 8„Л)"+1 '
284 глава седьмая
я =
1Л,/^(1+М)
2 /'(S) '
/'(S) 2
если /'(S)^O.
Если корень — простой и я достаточно мало, то существует такое положительное К, что I /' (лг) I > К для всех значений х, которые мы рассматриваем, и значение кория
Є+ A = S-•^1+0(A» J=S1 +О (A'),
где Si, следовательно, является уже лучшим приближением, чем S-
Повторяя это рассуждение для S1 вместо S и т. д., мы получим ряд еще лучших приближений Sj, ft, ошибки которых равны О (Л*), О (Л8),----
