Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
51. Показать, как преобразовать [Rix, l/—¦» 1/ ^*-^— \ dx
е JIr тх-\-п Г mx + nf
в интеграл от дробно-рациональной функции. [Положить тх-\-п = ~ и применить результат примера XLIX. 13.]
52. Вычислить интегралы
Производные и интегралы 277
55. Рекуррентные формулы. (1) Показать, что
dx
[Положить х + ^Р — *> Я--j" Ps — Х>' тогда
J (/a + X)"~ X J (/• + X)«-» X J (**
Pdt
' + xr
~~ X J (P + X)"-1 + 2X (л — I)J dt\ (P + X)"-'
отсюда получаем искомый результат интегрированием по частям.
Формула такого типа называется рекуррентной. Она чрезвычайно полезна, когда я— целое положительное число. Тогда мы можем выразить
Jdx С dx ,
-7-5—г--:—г=- через I т-?—,-—CVTT в. таким образом, вычислить (x*+px + q)a v J (xs+px + q)n~l у
этот интеграл для каждого значения п.]
(2) Показать, что если
h* ч~-
J* XP(I + x)idx,
(P + l)h,g = xP+1 <1 + х)" - Ih*, t-ь и вывести аналогичную формулу, связывающую Ip> q с С помощью
у
подстановки х = — \~^~у показать также, что
(3) Если
(4) Если
Гр. Q = (- 1^+' JV (1 +У)'""1-* dy.
dx
(jcs+l)"'
(2п — 2) Kn —(2« — 3) кп_, = X (х- + I)-C*-1). jc"1 dx
(Экз. 1935 г.)
Jje"1 (X' + If
то
2(я -1) Im, я = - -с"1"1 (х* + I)-C 1J + (« - 1)/от_а> „_,.
. (5) Если
In = J jc" cos ?jc dx н ./„ = J jc" sin ^x dx,
то
?/„ = jc" sin ?jc — я/„_і, ?/„ = — jc" cos ? jc + я/„_і.
(6) Если
In = J* cos"jc гід: и Jn = J* sin" jc djc,
то
я/„ = sjn jc cos"-' X + (n — 1) /„-*, я/„ = cos jc siij"-'jc + (я — I) /я-г,
Ьормулы. (1) Показат
Х+2Р С dx
~(x-+px+qf^ +( П > J (x*+px+qf^
278 Глава -шестая
„ = J'cos"1 X sin" X dx, - cos"1+1
= cos"1-1 X sin"+1 x + (от — 1) /OT_s, n-
TO
(«- I)(Zn + V2) =tg*-lA..
(8) Если
to
(m + «) 7OT> „ = — cos»"+1 X sin""1 X + (и — 1) ZOT, „_a =
[Мы имеем
(от + 1)/от>„=—J sin"-1 л- ~(cosm+lx)dx =
= — cos"1+1 a:sin"-1 X + (л — 1) ^cos"1+* х sin"^a л: гід:=:
= _ cos^+'x sin»-» х + (« - 1) (Іт> _—/„,, я),
что приводит к первой рекуррентной формуле.]
(9) Найти формулу, связывающую
Im, п — § sinmx sin пх dx с Im-i,». (Экз. 1897 г.)
(10) Если
„ = J" хот cosec" X dx,
то
(я _ 1) (я - 2) 1т, „ = (я - 2)a ZOT, „_a + т (т — 1) /от_а> „_» -— jfOT-i cosec«-i X { т sin X + («— 2) X cos X }.
(Эйгз. 1896 г.)
(11) Если
In = j* (а + * cos X)-" dx,
то
(« — l)(aa — 6s)/n = — ? sin х(а+ 6cosx) 1J+(2« —3)а/„_,—(«—2)/„_a.
(12) Если
Zn = J (а cosax + Ih cos х sin х + 6 sin* х)~" dx,
то
d*Z
4« (« + 1)(а» - Щ Zn+a - 2« (2я + 1) (а + »)Zn+1 + 4«aZn =- ^ .
(Экз. 1898 г.)
(13) Если
?0 (« +I)V4 = j^1On*)"-Я/да, »,1.
(7) Если
Производные а интегралы 279
= xm+1 j
J
(Injc)" и(іпл-)"-1 n (и— I)(InJC)"-» _ т+\ (« + I)2 + (и + 1)3 "
I (-1)"«! ) "1^ (и+ 1)"+1 j'
57. Площадь, ограниченная кривой, заданной уравнениями
sin I
1—cos
(1 + sin а)2
sin a sin tp . sin a cos tp
at = COStp + --s--j-:—, V=;Sintp—----—-
1—cos2izsin2 tp J 1—cos-'asin2;
где а — положительный острый угол, равна у sin а
(Экз. 1904 г.)
58. Проекция хорды окружности радиуса а на фиксированный диаметр имеет постоянную длину 2а cos 8. Показать, что геометрическое место середин таких хорд состоит из двух петель и что площадь каждой петли равна a2 (S — cos 3 sin В).
(Экз. 1903 г.)
59. Показать, что длина квадранта кривой
\ 2/3 /„ X 2/3
/ XVі , (уу/в , а'+ ab + ,
Ы Цт) =1 равна -^т+г
(Экз. 1911 г.)
60. Точка А находится пнутри окружности радиуса а на расстоянии b от центра окружности. Показать, что геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из А на касательные к окружности, ограничивает площадь г. ^a2+ у b*^j .
61. Доказать, что если
ах* + 2hxy + by- + 2gx + 2fy + с = О есть уравнение некоторого конического сечения, то
(Экз. 1909 г.)
J
dx , РГ
¦ = о In
(lx + my + n)(hx + by+f)~ PV
где PT, PT означают длины перпендикуляров, опущенных из точки P этого конического сечения с координатами х и у иа касательные в концах хорды Ix+ ту + и = 0, а а и В — постоянные.
(Экз. 1902 г.)
62. Показать, что
ах3 + 2bx + с
(Ах*+ 2Bx+Cf
dx
является рациональной функцией от х в том и только том случае, когда одно из выражений AC—В- и аС + сА — 2ЬВ равно нулю1.)
1) См. книгу автора, цитированную на стр. 248.
56. Если и—положительное целое число, то
хт (In xf dx=
280 Глава шестая
63. Показать, что необходимым и достаточным условием для того, чтобы
1
- dx,
где / и F—многочлены, причем F имеет только простые корни, был рациональной функцией от х, является делимость f'F'—fF" на F.
(Экз. 1910 г.)
64. Показать, что
Jctcosx-f-?sinx-f-T ^ (1 — ecosxf
является рациональной функцией от cosx и sin х в том и только том случае, когда ae-{-i = 0; вычислить интеграл в этом случае.
(Экз. 1910 г.)
ым и /(¦*)
глава vii
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО И ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЙ
