Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
20. Начертить кривую но уравнению
r^ + bHg*^ = a\
ТТЛ3
где а>#>0, и доказать, что площадь, ограниченная ею, равна —j-v.
(Экз. 1932 г.)
21. Кривая задана уравнением P=f(r), где г—радиус-вектор, а р — длина перпендикуляра, опущенного из полюса на касательную. Показать, что вычисление площади области, ограниченной дугой кривой и двумя лучами, исходящими из полюса, сводится к вычислению интеграла
prdr
Производные и инпіегралк
2бй
7. Если yz=\ nyr = ^Drxy, zs-.
Sl
DxZ,
то
Z Z1
Zi
1
I Уг
Уз
Z1 Z2
У
I Уз
Vi
У
Z
и
W(у, 7, и)
У'
Z'
и'
У"
z"
и"
8. Если
где штрихи обозначают дифференцирования по х, то 9. Если
то
ау_
(Экз. 1905 г.)
W(y,z, u)=y°W(l, j, -
ах* + 2hxy + by* + 2gx + 2fy + с = 0,
ax + hy+g d*y _
dx" 10. Если
hx + by + / ' dx*
айс 4- 2/gft — a/8 — bg*— ch? (hx + by+ff
y*4rZyx + 2x* = Q, Xі (1 -Lx*)y" -~^-xy'-t-y=0.
(Экз. 1903 г.)
11. Проверить, что дифференциальное уравнение
у = tp { ф Cy1)} 4- ср { л: — <Ь (у,)}, где уг обозначает производную от у, а 6 — функцию, обратную со', удовлет-в оряется функциями у = ср (с) 4- ф (л" — с) и у = 2ср ^y j .
12. Проверить, что дифференциальное уравнение
(в обозначениях примера II) удовлетворяется функциями у = сер i^-^j и ф (ос)
y — ?x, где /?= в 7 и а является любым корнем уравнения
ср (а) — аер' (а) = 0.
13. Если ах-j-by+ с = 0, ю Ji8 = O (индексы обозначают дифференцирования по л-). Это означает, что общим дифференциальным уравнением всех прямых линий является Уг = 0. Найти общее дифференциальное уравнение (1) всех окружностей с центрами на оси х, (2) всех парабол, ось которых совпадает с осью х, (3) всех парабол с осями, параллельными оси у, (4) всех окружностей, (5) всех парабол, (6) всех конических сечений.
[Соответствующие уравнения имеют вид: (1) І+.уі+№==0, (2) у! 4-4-W2 = O, (3) у8= 0, (4) (1+уі)л = ЗлЛ (5) 5у\=3у*уь (6) 9у|у5-— 4Sy^4 4-4OyJ = O.
270 tлаёа шестая
В каждом случае мы должны сначала написать общее уравнение рас» сматриваемых кривых и дифференцировать его до тех пор, пока мы получим достаточно уравнений для исключения произвольных постоянных.]
14. Показать, что общие дифференциальные уравнения всех парабол и всех конических сечеиий могут быть записаны, соответственно, в следующем виде:
Dl(y*-*h) = 0, Dl(yrS/B) = 0. [Уравнение конического сечения может быть записано в виде у = ах + b ± Vpxs + 2qx+~r-Отсюда мы выводим, что
Л = ± (pr-q*) (рх* + 2qx + r)~ 8^.
Для параболы р = 0.]
15. Обозначая
dy 1_ d*y J-A^ J_ <Ру
dx' 2l dx*' 3! dx*' 4Tdx"'"
через t, а, Ь, с, ... и
dx l_ d*x 1_ d°x J_ d*x
dy ' 2T dy*' 3! Hy*' 4! dy4' -"
через t, a, ?, y, ..., показать, что
Kus 4aT-5?» , ?u —a*
4ac —5/У— . bt — a* = — r ^ .
Вывести аналогичные формулы для выражений
аЧ — Шс — 2b3, (\+Р)Ь — 2аЧ, 2ct — 5ab.
16. Если у = cos (т arc sinx), и уп обозначает л-ую производную от у, то
(1 - **) Уп+* -(2«+I) Xyn+1 + («8 - л')У„ = 0.
(Экз. 1930 г.)
[Доказать сначала для случая я = 0 и затем я раз продифференцировать, применяя теорему Лейбница.]
17. Доказать формулу
vDxu = DZ(UV)-uDP-'(uD^+ЩТ^Dx-^(UDxV)- ...,
где п — любое положительное целое число. [Применить метод индукции.]
18. Показать, что
/ d \*п sin X 2л| , _ . ч _ , 4 . ,
\dx) ТГ~==х*й+г tSs„-,(x)cqsx— Ctn(x)SiHX},
где Ctn(X) и S»„_i(x) определены как в примере XLV1. 5.
(Экз. 1936 г.)
19. Доказать, что
v-i
[тхТcos,v х=fe=? 2 (Г){ъ -2r)tn cos 2(y~r) х-
(Экз. 1928 г.)
Производные и интегралы 271
(Экз. 1933 г.)
(Экз. 1930 г.)
оа с arc sin л: л . л
20. Если y = ~r-====-t где — 1<л-<1 и---< arc sin х <
у I — Xа L I
(1 - xs)yn+1 — (2« + I) хуя — «%_, = О, причем индексы обозначают производные по х.
21. Если у = (arc sin x)a, то
(1 - x*)y„+i - (2« -1) ху„ - (п - 1)%_, = О, Найти отсюда значения всех производных от у при х = 0.
22. Кривая задана уравнениями
x = а (2 cos t + cos 2г*), у = а (2 sin t — sin 2i).
Доказать, что (1) уравнения касательной и нормали в точке P кривой, которой соответствует значение параметра t, имеют вид
. t , / .3/ t . t „ Зі
X sin y +у cos Y = fl sin 2"' •^08"?»"—У sin у = За cos -^-;
(2) касательная в точке P пересекает кривую в точках QuR, которым соответствуют значения параметра —у н я — -g-; (3) QR = 1Ia; (4) касательные в точках QhR взаимно перпендикулярны н пересекаются на окружности xa +у* = а*; (5) нормали в точках Р, Q н R проходят через одну точку, лежащую на окружности Xs+у = 9а2; (6) уравнение кривой может быть записано в виде
(х2 +у3 + 12ах + 9a*)a = 4а (2х + За)3.
Начертить эту кривую.
23. Показать, что уравнения, определяющие кривую в примере 22, могут быть заменены следующими:
1 = 2а+1, і = І+ и», а 1 а* а и J
