Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
3 2 1
равны--2" и — у • J
40. Если
f(x)==__1___!_
JK ' sinx— sin а (х—a)cosa'
то
d 3 5
-г- { lim f{x)} — lim f (x) = ~r seca а — ^ sec а.
aa x — а х-* a * lz
(Экз. 189S г.)
41. Показать, что если
і
ср (х)-.
Cf С") (x)--
1 + xі ' Qn(x)
"(1 + xі)11+1'
где Qn(x)—многочлен степени п. Показать также, что 1° On + I=(I + x*)Q'n-2(n+\)xQn,
2° Qn + 2 + 2(n + 2)xQn + x + (n+2)(n+ 1)(1 + x*)Q„ = 0, 3° (l+x*)Qn-2nxQ'n+n(n+l)Qn = 0,
^?.^(-^,!{(«+1)^-^+1)»/»-1)^- + ...},
5° все корни уравнения Qn = O действительны н перемежаются с корнями уравнения Qn-1 = O.
42. Если /(х), tf (jc) и A (x) удовлетворяют условиям пи. 12S—8 в отношении непрерывности и дифференцируемости, то существует такое значение 6 между а и Ь, что
/(о) ?(а) ф(в) f(b) IfiP) =0.
/'(5) ?'№)
[Рассмотреть функцию, образованную заменой элементов последней строки этого определителя на /(х), ср (х), Л (лг). Эта теорема сводится к теореме о среднем значении (см. п. 126) в случае ср(х) = х и ф(х)=1.]
43. Из результата примера 42 вывести теорему п. 128. [Положить «1(JC)=JC.]
44. Если ср(х) и ii(x) удовлетворяют условиям п. 128 н ср'(je) никогда не обращается в нуль, то
9(S)-Cp (а) ф(*)_ф(?)
для некоторого 5 в (а, A). (Экз. 1928 г.)
[Применить теорему Ролля к функции (ср(х)— ср (а)} { і (6) — M*)}-]
45. Если ср (х) непрерывна для a -SC х І, ср" (х) существует и положительна дли а<. x <.Ь, то
Cp(X)-Cf(O) X —о
строго возрастает для о < х < А. (Экз. 1933 г.)
Производные и интегралы 275
sin x' 1 — cosx' X — sinx'"°
возрастают в интервале 0<лг<у. (Экз. 1934 г.)
[См. Г. Харди, Дж. Литтльвуд и Г. Полна, Неравенства, стр. 130.]
47. Пусть функция f (х) имеет дифференциальный коэффициент/'^) при х = ?. Доказать, что
T(M)=/(6 + *)+f-*>-/'ffl
стремится к нулю, когда hak стремятся независимо друг от друга к нулю, принимая положительные значения.
Доказать также, что если /' (х) непрерывна в некотором интервале, содержащем ?, то мы можем отбросить условие, что hak положительны, и предположить только, что hkф0.
Наконец, доказать на примере функции
/(0) = 0, f(X)=J^r (хфО), что мы не можем отбросить это условие в общем случае.
(Экз. 1923 г.)
[Для доказательства первого утверждения использовать тождество
и неравенства h<.h-\-k, k<.h-\-k. Доказательство второго утверждения проводится с помощью теоремы о среднем значении. Для доказательства третьего утверждения положить
? = 0, ц=^п-~уЧ\ k = -n-1<\
где п — положительное целое число.]
48. Если а'(х)—+а при х-^со а афО, то ср(х)~ах. Если а = 0, то <р(х) = о(х). Если <р'(х)-^оо, то ср(х) — оо. [Применить теорему о среднем значении.]
49. Если <р(х)—.а при х—> oo, то <р' (х) не может стремиться ни к какому другому пределу, кроме 0.
50. Если <р(х)-f-ср'(х) — а при х—«со, то <р(х) — а а ср'(х) — 0. [Пусть ср (х) = а-[-6 (х), так что ф (x)-f-Л'(х)—.0. Если У (х) не меняет
знака, скажем положительна для всех достаточно больших значений х, то ф (х) монотонно возрастает и должна стремиться либо к некоторому конечному пределу /, либо коо. Если ii (х) —> оо, то ф' (х) —>— оо, что противоречит нашей
18»
46. Пусть функции /(х) и g (х) непрерывны для О x=g: а и дифференцируемы в интервале 0<х<а, причем /(O) = O и g(0) = 0; пусть, далее, /' (х) и g1 (х) положительны. Доказать, что тогда
fix)
1° если /' (х) возрастает с возрастанием X, то и ~- ' возрастает с возрастанием х,
f (х) f (х)
2° если g ^ возрастает с возрастанием х, то и возрастает с воз-
растанием х.
Доказать, что функции
j- v« - x**
X 2 х 6х
276 Глава шестая
J5 cos X -\~ 6 Л_ dx
2cosx-f-sinx + 3 х> J (2 — sinaх)(2 + sin х — sin8x)'
^ cosec X j/sec 2х dx,
Jdx C * + sin X . С . f. . ча .
• J W7COsT Jarc sec * ^ J <arc sin *>s dx>
fxarcsinxdx, f^^dx, ^^Щ-dx, Г^+f^dx.
53. Вычислить
л:—. 1 dx
*+1 У X(JCa + X+1)
С помощью Подстановки к* = х + 1 + ~ •
X
54. Доказать, что
Г dx , 1 ¦3...(2«— 1) Г 1 —уГ=Г^
J д^п+і -i/" j — х8 ' 2-4...2« L X
(Экз. 1931 г.)
Xs"+1 У\
JL + IL+ і 2-4--.(2«-2) 1 ) rr—t] Ix8+ З X4 ^ •"• ^3 -5...(2«— l)xs" j v у
J
!)-
dx 2-4...2«
д.ал+8 у j_д-s 3 • 5... (2и -f-1)
XJi + Ii+ 1•3..¦(2«-I) 1 Un-^
Х1х + 2х3+-"+ 2-4...2« X8"+1 j v '
где и—положительное целое число. (Экз. 1931 г.)
предпосылке. Если i> (х) —¦ I, то <У (х) — — /,а это невозможно (см. пример 49), если 1ф<д. Аналогичный результат мы получаем и в предположении, что if'(X) отрицательна для достаточно больших х. Если У (х) меняет знак для сколь угодно больших х, то ф (х) имеет максимумы и минимумы правее любого сколь угодно большого значения х. Пусть х — достаточно большое значение, соответствующее максимуму илн минимуму ф (х); тогда <Ь (х) + <!/ (х) мало, а ф'(х)=0, так что i>(х) мало. Другие значения 6(х) тем более малы по абсолютной величине, когда х достаточно велико.]
