Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Харди Г.Х. -> "Курс чистой математики" -> 106

Курс чистой математики - Харди Г.Х.

Харди Г.Х. Курс чистой математики. Под редакцией Солнцева Н.Я. — М.: Иностранной летературы, 1949. — 512 c.
Скачать (прямая ссылка): kchm1949.djvu
Предыдущая << 1 .. 100 101 102 103 104 105 < 106 > 107 108 109 110 111 112 .. 191 >> Следующая


мы будем обозначать через (ONPP0) и называть площадью, причем эти числа обладают некоторыми очевидными свойствами, подсказываемыми нашей геометрической интуицией, например:

(PRP') + (NNRP) = (NN'P'P), (N1NPR1) < (ONPP0)

и т. д.

Ясно, что если мы все это предположим, то площадь фигуры ONPP0 будет функцией от х; обозначим эту функцию через Ф (х). Ф (х) является непрерывной функцией. В самом деле,

Ф (X + я) — Ф (х) = (NN'P'P) =

N N'

Фиг. 41

= (NNRP) -f- (PRP1) = h «у (X) + (PRP').

Из чертежа видно, что площадь PRP' меньше чем hk. Это, однако, не всегда будет иметь место (см., например, фиг. 41а), потому что дуга PP' может не быть монотонно возрастающей или убывающей от Я к P'. Но площадь PRP' будет всегда меньше чем | я | X (я), где X (я) обозначает наибольшее расстояние любой точки дуги PP' от PR. С другой стороны, так как so (х) — непрерывная функция, X (h)-f-0 при я—>O. Таким образом,

Ф (* +А)-Ф А {*(*) +P W}.

264

Глава шестая

где I Ji (A) I X (А) и Х(/г) — 0 при A —> O. Отсюда следует, что Ф(х) непрерывна. Более того,

ф'(X) = Hm ?(?±A)jz±W= Um { со (х)+ Ji(A) }=<o(jc).

ft—О " л—о

Таким образом, ордината кривой равна производной площади, а площадь является интегралом от ординаты.

Теперь мы можем сформулировать следующее правило для нахождения площади ONPP9. Вычислим Ф (х) — интеграл от ср (х), причем произвольную постоянную выберем так, чтобы Ф (0) = 0. Тогда Ф (х) и является искомой площадью.

Если бы требовалось вычислить площадь N1NPP1, то мы должны были бы определить произвольную постоянную так, чтобы Ф (Xi) = O, где X1 есть абсцисса точки P1. Если кривая лежит под осью х, то Ф(х) отрицательна, и площадь будет равна абсолютной величине Ф (х).

149. Длины плоских кривых. Понятие длины также требует весьма тщательного рассмотрения. Оно значительно сложнее понятия площади. В действительности, предположение, что дуга P0P (см. фиг. 41) имеет определенную длину, которую мы обозначим через S (х), недостаточно для нашей цели, тогда как соответствующее предположение относительно площади оказалось достаточным. Мы даже не можем, исходя из него, доказать, что S (х) непрерывна, т. е. что

lim {S(P') — S (P)} = 0.

Это кажется достаточно очевидным на большей фигуре, но уже менее очевидно в случае, изображенном на меньшей фигуре. Мы не можем, таким образом, продолжать наши рассмотрения с какой бы то ни было степенью строгости без подробного анализа того, чтб следует понимать под длиной кривой.

Однако легко видеть, что должна представлять собой окончательная формула. Предположим, что кривая имеет в каждой точке касательную, направление которой непрерывно изменяется, т. е. что ф' (х) непрерывна. Тогда предположение, что кривая обладает длиной, ведет к соотношению

S(x + h) — S(x) _{РР'}_РР' {PP'} h ~ h ~~ h ' PP' '

где {PP'} обозначает длину дуги, стягиваемой хордой PP'. Но

PP' = /PW+W*=a Yi + *

и

А=Ф(лг + А) —ф(*) = Аф' (5),

ГДе \ лежит между X и jc-j-А. Следовательно,

Jim ^ = lim YWWW= +

Производные и интегралы 265

A (t) = ^(t)i(t)dt=^y ^dL

9. Предположим, что С —замкнутая самонепересекающаяся кривая, обладающая тем свойством, что любая прямая, параллельная одной из осей координат, пересекает ее не более чем в двух точках. Предположим, далее, что координаты любой точки P на кривой могут быть выражены, как в примере 8, через параметр t и что когда t изменяется от t0 до tx, P движется

Если мы далее предположим, что

і- 1рр'У і

hm -ррг=1. то получим следующий результат:

5' (X) =Цш s (х + W-s № = + (х)}«. и, таким образом,

S(X) = + (x)}~*dx. Примеры LlV. 1. Вычислить площадь сегмента, отсекаемого от параболы



у= —прямой х = ?, а также длину дуги, ограничивающей его.

х* у2

2. Показать, что площадь эллипса4-•fr =1 равна т.аЬ.

а* о*

3. Площадь, заключенная между кривой х=у8(1—х) и прямой х=1, равна тт. (Экз. 1926 г.)

4. Начертить кривую (1 + xa)ys = x2(l — Xі) и доказать, что площадь

петли равна у (it — 2).

(Зкз. 1934 г.)

5. Начертить кривую а'у2 = х5(2а— х)и показать, что площадь фигуры, ограниченной этой кривой, равна — -а2.

(Загз. 1923 г.)

6. Доказать, что площадь между кривой

Си=.

и отрезком (— а, а) оси х равна -у ab ,

(Зл\э. 1930 г.)

7. Найти площадь, ограниченную кривой у = sinx и отрезком оси х от х=0 до X= 2тг. [Здесь Ф(х) = — cosx, а разность между значениями

— cosx при х=0 и при X = Ir, равна 0. Это объясняется, конечно, тем, что между х=тг'и х=2тг кривая лежит под осью х и соответствующая часть площади входит со знаком минус. Площадь от х=0 до х = тс равна

— cos rc -\- cos 0 = 2, а вся искомая площадь, если каждая ее часть считается положительной, равна 4.)

8. Предположим, что координаты любой точки некоторой кривой даны, как функции параметра t, уравнениями х = ср (г1), у = ф (f), где ср и <Ь —функции от г* с непрерывными производными. Доказать, что если х монотонно возрастает, когда t изменяется от, г*0 до tu то площадь области, ограниченной соответствующей дугой кривой, осью X и двуми ординатами, соответ-
Предыдущая << 1 .. 100 101 102 103 104 105 < 106 > 107 108 109 110 111 112 .. 191 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed