Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
(а) Предположим, что f(x) и <р(х) дифференцируемы при х = 0 и что/(0) = ср (0) = 0, ср' (0)=?0. Тогда
f(x) = xf (0) + о (х), ср (X) = X9' (0) + о (X)
и, следовательно,
f(x) /'(0) ? W ?'(0) '
Вообще, если функции имеют п производных в точке дг = 0 и первые п—-1 производных каждой из этих функций обращаются в этой точке в нуль, а срС") (0) ф 0, то, по теореме п. 151,
/О*) = ^f[n) (0) +° (*"). *(¦*) = -?- *т (°) + 0 (*">
19 Г. Харди
290 Глава седьмая
1J Ибо в противном случае левая часть соотношения (2) теряла бы смысл для бесконечного множества малых значений а.
*) Это предложение часто называется правилом Лопиталя. (Прим. перев.)
9(X) (0) '
(b) Часто представляется, однако, более удобным применить теорему п. 128. Если f(x) и <р(х) непрерывны для Xs^h и дифференцируемы для 0 < X «?я, /(O) = O и «р (0) = 0, ср(п)фО и f (х) и ср' (л:) не обращаются одновременно в нуль ни при одном значении х, то
п\ /(") _f®
() ?(")—«P'(6)
для некоторого J между 0 и я. Допустим теперь, что
(2)
при х->-0 справа. Тогда существует интервал (0, ?), в котором ср' (лег) не обращается в нуль1). По теореме п. 129, следует, что у'(х) не меняет знака для 0<^x<^k, а отсюда получаем, по следствию 2 из п. 122, что ф(лг) не меняет знака для 0<^x<^k. Поэтому (1) имеет место для каждого положительного я, меньшего k, и
/(*) w «P(A)
Это значит, что
(3) Hm Щ= Hm ^7M
если аягояг последний предел существует.
Существуют, конечно, аналогичные теоремы для х—*¦—0 или для х—*-0. Кроме того, приведенное рассуждение может быть повторено любое число раз. Таким образом,
.. /(А") .. /СНА")
lim = hm {
для любого я, если только /M(O)=O и 9<v>(0) = 0 для 0=?v<^h и предел в правой части существует *).
То же рассуждение показывает, что —*¦ -J- оо, если — —>- -J- оо.
Если мы хотим вывести (3) из теоремы о среднем п. 126, то мы должны предположить, что /'(х) и ср' (а) непрерывны при х = 0 (во всяком случае при стремлении к 0 справа). Тогда
/ (а) = xf' (B1X), tp (а) = аф' (92а),
где Bi и O2 лежат между 0 и 1.
Дополнительные теоремы 291
4. Показать, что
при х-— 1. 5. Найти
^Положить X = ~ 6. Доказать, что
sinx я sin X — sinflx
1 — 4 sina-i- ях ,
6 4-/3-
(Экз. 1932 г.)
1-х2 6
Hm X {)/"х*+ йг* — х}.
lim
(—1)"
lim (х — я) cosec хтс = J ,
(-1)" \ (-1)птс
1 і (-1)" 1
im-— і cosec хтс — -ч— J- -¦
_„ х —я { (х —Я)тс]
19*
Так как/'(6iX) —*/'(0) и ср'(esx)--<-ср'(0J, то утверждение доказано.
Преимуществ метода (Ь) обнаруживается в приведенном ниже примере LVIIL 3. Если
/ (х) = tg х — х, ср (л:) = X — sin х,
то
/(0) = /-(0)=/"(0) = 0, Cp(O) = Cp-(O)=Cp-(O) = O, ср-(0) = 2, ср'"(0)= 1,
н, следовательно, искомый предел ранен 2. Это рассуждение требует трех дифференцирований каждой функции. Но
/'(х) sec*л:— 1 „ ,. , _
-7+-( = -!—¦-= sec* X (1 + cos jc) •—>2,
ср'(лг) 1—cosx 1 '
и мы быстрее получаем результат методом (Ь).
Существует много видоизменений теорем1 настоящего пункта. Так, X может стремиться к а или к со вместо 0 и / и 9 могут стремиться обе к бесконечности вместо 0. Эти видоизменения обычно сводятся к рассмотренному случаю простыми преобразованиями.
Примеры LVIlI. 1. Если /=x*sia-^, ?=х, то —.0. Здесь
Г о • 1 1
-+ = 2xsin--cos—,
ср x x
а эта функция колеблется при х —*0. Таким образом, — может стремиться
/' ?
к пределу н в том случае, когда —j к пределу ие стремится, т. е. наше условие является лишь достаточным, ио не необходимым.
2. Найти
Hm х-^ + Цх^^ + пх"+* *-1 (!—¦*)*
3. Найти пределы при х—-0 следующих выражений:
tgx — X tg их — я tg X
292
Глава седьмая
где п — любое целое число. Найти также соответствующие пределы при замене cosec хт* на ctgxrc.
7. Найти пределы при х —- 0 следующих выражений:
i(cosec*--i-!-), -L(ctg*-i+f).
8. Показать, что при х—»0
sin Xarc sinX—Xі 1 tgx arc tg*—Xа _2 18' Xі ~~ 9
¦yftx)
155. С. Касание плоских кривых. Две кривые называются пересекающимися в некоторой точке, е:ли эта точка лежит на каждой
из них. Они называются соприкасающимися в этой точке, если касательные к ним в этой точке совпадают.
Допустим, что f(x) и ср(дг) имеют производные всех порядков при X=?, и рассмотрим кривые y=f (х), У = у(х). В общем случае /(?) и ср(?) не будут равны. В этом случае абсцисса х = % не соответствует точке пересечения этих кривых. Если же /(?)=ер(?), то кривые пересекаются в точке x=i, 3>=f(?)=9(1)- Для того чтобы кривые касались друг друга в этой точке, необходимо и достаточно, чтобы первые производные /' (х) и 9' (х) имели одно и то же значение при х = 1.
Касание кривых в этом случае может рассматриваться еще с другой точки зрения. На фиг. 42 проведены две кривые, касающиеся друг друга в точке Р; отрезок QR равен
а так как то он равен
9(5-И)-/(E+ А), 9(0=/(5), 9'(0=/'?).
\ А* +6A)-/" + 6A)}, где 6 лежит между 0 и 1. Следовательно,
