Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Харди Г.Х. -> "Курс чистой математики" -> 113

Курс чистой математики - Харди Г.Х.

Харди Г.Х. Курс чистой математики. Под редакцией Солнцева Н.Я. — М.: Иностранной летературы, 1949. — 512 c.
Скачать (прямая ссылка): kchm1949.djvu
Предыдущая << 1 .. 107 108 109 110 111 112 < 113 > 114 115 116 117 118 119 .. 191 >> Следующая


8. Применить этот процесс к уравнению Xі = 2, взяв в качестве пер-

3 17

вого приближения S — ~2 • [Находим S1 = = 1,417..., что является весьма

хорошим приближением, несмотря на большую неточность первого. Повторяя 577

процесс, найдем Sa = ^Qg= 1,414215..., что дает результат, верный до

пятого знака включительно.]

9. Рассматривая таким же образом уравнение х* — 1 — у — 0, гдеу мало, показать, что

^1+7=1+^+4^ + 0^).

10. Показать, что корень уравнения из примера 7 равен

f faf"

* ~7 W1 + 0(| h |3)'

причем аргументом во всех функциях является S-

11. Уравнение sinx = cur, где а мало, имеет корень, почти равный п. Показать, что (1 — а) тс является лучшим приближением и что еще лучшим является (1—а+а8)тт.

[Метод, изложенный в примерах 7—10, ие зависит от того обстоятельства, что /(х) = 0 — алгебраическое уравнение; ои применим и к трансцендентным уравнениям, если только /' и-/" непрерывны и /'(S)^O.]

12. Показать, что если / (n+1) (х) непрерывна, то предел при ft—>O величии Bn в теореме Тейлора равен ^ .

[Действительно, /(х+я) равно как

/(X) + ... + т (х+е^я),

так и

/<*) + -.. + ;?Я"> И + (ад-, / ) (* + в„+1Л), где 8„ и On+1 лежат между 0 и 1. Следовательно,

/(П)(х + 9пА)=/(П)(х)+^(П+'^+^Л) ,

7. Метод Ньютона приближенного вычисления корней уравнения.

Пусть S является приближенным значением кория алгебраического уравнения /(х) = 0, причем истинное значение корня равно S +Л. Тогда

О ==/(? + я) =/(!) + Af (S) + - j ft'/" (6 + %h),

так что

/(S)

Дополнительные теоремы

285

Но по первой теореме о среднем, примененной к функции /(")(*) с QnH вместо п, мы находим, что

/ I") (X + 9ЯА) = /(") (х) + 8„Л/("«) (лг + Юпп), где 9 также лежит между 0 и 1. Следовательно,

Є„/С"+') (л: + 69„A) + l^^iat«*).,

откуда и следует утверждение, так как / Cn+1) (лг+ 99„л) и / Ся+1)(х -f Qn+1Zz) стремятся к пределу / (п+1)(лг) при Л—'0.]

151. Другая форма теоремы Тейлора. Существует другая форма теоремы Тейлора, в которой предполагается меньше, чем в п. 150.

Предположим, что f(x) имеет я производных /'(а), ...,/") (а) при X = а. Существование /(v) (х) в любой точке предполагает существование fb-V (х) в некотором интервале, содержащем эту точку, и ее непрерывность в этой точке; таким образом, первые я — 2 производных непрерывны в некотором интервале, содержащем точку X = а, а (я—1)-ая производная непрерывна в точке X = а. Но мы не предполагаем существования я-ой производной ни в какой другой точке, кроме X = а.

Пусть сперва Л^О, и положим

Fn (Щ =f(a + A) -f(a) - hf (а) -... - /t""') (а).

Тогда Fn(A) и ее первые я—1 производных обращаются в нуль при A=O, a Fnn)(0)=/~п\а). Следовательно, если мы положим

G(h) = Fn(h)-^{f(») (а)-Ц,

где 8 положительно, то

G(O) = O, G'(0) = 0,..., Gt"-1) (0) = 0, GC)(O) = 8>0. Из последних двух соотношений и теоремы А п. 122 следует, что Gt"-1) (Ji) возрастает в точке A=O и положительна для малых положительных h.

Далее, Gf-2J(O) = O и G("_1)(ft)^>0 для малых положительных h; таким образом, по следствию 1 п. 122, G("_2)(A)^>0 для малых положительных А1). Повторяя это рассуждение, мы последовательно найдем, что Gt""3) (A), Gt"-4) (А), ... и, наконец, G (А) положительны, т. е. что

Fn(h)>^\f^ (а)-8} для малых положительных А.

') Или G("-*>(A)=Gt"-8)(A)-G("-a)(0) = nG t""') щ > 0, по теореме о среднем.

286 глава седьмая

f(a + h)-2f(a)+f(a -ft)

да J \а)>

если /" (а) существует. 4. Доказать, что

3 sin 28 . , 4 ЛС ,

2(2+cos28)== 9 + 4595 + °(95) для малых 9. 4

(Экз. 1925 г.)

(Экз. 1935 г.)

') Изменяя знак перед 8 в определении G (ft).

Аналогично') мы можем доказать, что

для малых положительных ft, причем в этих неравенствах 8 обозначает произвольное положительное число. Отсюда следует, что

FnW) = ^W*) (в)+ч},

где ¦»)->• 0 при ft-*-О справа.

Рассматривая аналогично случай отрицательных ft, мы приходим к следующей теореме.

Если f(x) имеет п производных при X = а, то

ип-1

(1) f(a + ft) =/(а) + ft/' (а) + ... + -ф-щ f~l (а) +

+ -J? {/">(<*) + '!},

где к)-*-0 лр« A—>O.

В обозначения* п. 98 мы можем вместо (1) написать

(2) f(a + ft) =/(а) + ft/ (а) +... + -^?-/™ (а) + ° (ft").

Эти формулы мы могли бы вывести и из теоремы п. 150, но только в предположении непрерывности /") (дг) при дг = а.

Примеры LVL 1. Показать, что если

O0 + O1X +... + а„х" + о (лг") = b0 + Ьхх +... + + о (Xя)

при дг-*-0, то a0 = b0, oi = >!,..., an=bn.

[Устремляя X к 0, мы видим, что а0 = Ь0. Деля на дг и устремляя затем X к 0, найдем, что ві = #і и т. д.

Отсюда следует, что если / (дг) имеет я производных прн дг=а н

/(a + h)=c0 + eih + ...+cnh" + o (Лп),

то с0, C1,... имеют значения из (2).]

2. Доказать, что

/(а + *)-/(а-А) _ , .

2Л 7 w'

если /'(а) существует.

3. Доказать, что

Дополнительные теоремы 287

Предположим теперь еще, что Rn-*-0 при л-voo. Тогда

А8 2!

/(а + A) = Hm S„ =/(a) + А/ (а) +-?-/' (а) +...
Предыдущая << 1 .. 107 108 109 110 111 112 < 113 > 114 115 116 117 118 119 .. 191 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed