Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
8. Применить этот процесс к уравнению Xі = 2, взяв в качестве пер-
3 17
вого приближения S — ~2 • [Находим S1 = = 1,417..., что является весьма
хорошим приближением, несмотря на большую неточность первого. Повторяя 577
процесс, найдем Sa = ^Qg= 1,414215..., что дает результат, верный до
пятого знака включительно.]
9. Рассматривая таким же образом уравнение х* — 1 — у — 0, гдеу мало, показать, что
^1+7=1+^+4^ + 0^).
10. Показать, что корень уравнения из примера 7 равен
f faf"
* ~7 W1 + 0(| h |3)'
причем аргументом во всех функциях является S-
11. Уравнение sinx = cur, где а мало, имеет корень, почти равный п. Показать, что (1 — а) тс является лучшим приближением и что еще лучшим является (1—а+а8)тт.
[Метод, изложенный в примерах 7—10, ие зависит от того обстоятельства, что /(х) = 0 — алгебраическое уравнение; ои применим и к трансцендентным уравнениям, если только /' и-/" непрерывны и /'(S)^O.]
12. Показать, что если / (n+1) (х) непрерывна, то предел при ft—>O величии Bn в теореме Тейлора равен ^ .
[Действительно, /(х+я) равно как
/(X) + ... + т (х+е^я),
так и
/<*) + -.. + ;?Я"> И + (ад-, / ) (* + в„+1Л), где 8„ и On+1 лежат между 0 и 1. Следовательно,
/(П)(х + 9пА)=/(П)(х)+^(П+'^+^Л) ,
7. Метод Ньютона приближенного вычисления корней уравнения.
Пусть S является приближенным значением кория алгебраического уравнения /(х) = 0, причем истинное значение корня равно S +Л. Тогда
О ==/(? + я) =/(!) + Af (S) + - j ft'/" (6 + %h),
так что
/(S)
Дополнительные теоремы
285
Но по первой теореме о среднем, примененной к функции /(")(*) с QnH вместо п, мы находим, что
/ I") (X + 9ЯА) = /(") (х) + 8„Л/("«) (лг + Юпп), где 9 также лежит между 0 и 1. Следовательно,
Є„/С"+') (л: + 69„A) + l^^iat«*).,
откуда и следует утверждение, так как / Cn+1) (лг+ 99„л) и / Ся+1)(х -f Qn+1Zz) стремятся к пределу / (п+1)(лг) при Л—'0.]
151. Другая форма теоремы Тейлора. Существует другая форма теоремы Тейлора, в которой предполагается меньше, чем в п. 150.
Предположим, что f(x) имеет я производных /'(а), ...,/") (а) при X = а. Существование /(v) (х) в любой точке предполагает существование fb-V (х) в некотором интервале, содержащем эту точку, и ее непрерывность в этой точке; таким образом, первые я — 2 производных непрерывны в некотором интервале, содержащем точку X = а, а (я—1)-ая производная непрерывна в точке X = а. Но мы не предполагаем существования я-ой производной ни в какой другой точке, кроме X = а.
Пусть сперва Л^О, и положим
Fn (Щ =f(a + A) -f(a) - hf (а) -... - /t""') (а).
Тогда Fn(A) и ее первые я—1 производных обращаются в нуль при A=O, a Fnn)(0)=/~п\а). Следовательно, если мы положим
G(h) = Fn(h)-^{f(») (а)-Ц,
где 8 положительно, то
G(O) = O, G'(0) = 0,..., Gt"-1) (0) = 0, GC)(O) = 8>0. Из последних двух соотношений и теоремы А п. 122 следует, что Gt"-1) (Ji) возрастает в точке A=O и положительна для малых положительных h.
Далее, Gf-2J(O) = O и G("_1)(ft)^>0 для малых положительных h; таким образом, по следствию 1 п. 122, G("_2)(A)^>0 для малых положительных А1). Повторяя это рассуждение, мы последовательно найдем, что Gt""3) (A), Gt"-4) (А), ... и, наконец, G (А) положительны, т. е. что
Fn(h)>^\f^ (а)-8} для малых положительных А.
') Или G("-*>(A)=Gt"-8)(A)-G("-a)(0) = nG t""') щ > 0, по теореме о среднем.
286 глава седьмая
f(a + h)-2f(a)+f(a -ft)
да J \а)>
если /" (а) существует. 4. Доказать, что
3 sin 28 . , 4 ЛС ,
2(2+cos28)== 9 + 4595 + °(95) для малых 9. 4
(Экз. 1925 г.)
(Экз. 1935 г.)
') Изменяя знак перед 8 в определении G (ft).
Аналогично') мы можем доказать, что
для малых положительных ft, причем в этих неравенствах 8 обозначает произвольное положительное число. Отсюда следует, что
FnW) = ^W*) (в)+ч},
где ¦»)->• 0 при ft-*-О справа.
Рассматривая аналогично случай отрицательных ft, мы приходим к следующей теореме.
Если f(x) имеет п производных при X = а, то
ип-1
(1) f(a + ft) =/(а) + ft/' (а) + ... + -ф-щ f~l (а) +
+ -J? {/">(<*) + '!},
где к)-*-0 лр« A—>O.
В обозначения* п. 98 мы можем вместо (1) написать
(2) f(a + ft) =/(а) + ft/ (а) +... + -^?-/™ (а) + ° (ft").
Эти формулы мы могли бы вывести и из теоремы п. 150, но только в предположении непрерывности /") (дг) при дг = а.
Примеры LVL 1. Показать, что если
O0 + O1X +... + а„х" + о (лг") = b0 + Ьхх +... + + о (Xя)
при дг-*-0, то a0 = b0, oi = >!,..., an=bn.
[Устремляя X к 0, мы видим, что а0 = Ь0. Деля на дг и устремляя затем X к 0, найдем, что ві = #і и т. д.
Отсюда следует, что если / (дг) имеет я производных прн дг=а н
/(a + h)=c0 + eih + ...+cnh" + o (Лп),
то с0, C1,... имеют значения из (2).]
2. Доказать, что
/(а + *)-/(а-А) _ , .
2Л 7 w'
если /'(а) существует.
3. Доказать, что
Дополнительные теоремы 287
Предположим теперь еще, что Rn-*-0 при л-voo. Тогда
А8 2!
/(а + A) = Hm S„ =/(a) + А/ (а) +-?-/' (а) +...