Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
y = jax* + jahx* + o(x*).
Это выражение должно совпадать со следующим:
У = 7>- /" (0) *а + -J-/"' (0) Xs + о (X*),
р" (Q)
отсюда а=/"(0), A=(см. пример LVI. 1). Но центры лежат на прямой ах + Ay = 0.]
1J Значительно более полное изложение теории кривизны читатель найдет в книге Фоулера, цитированной на стр. 293. [См. также, например, П. К. Рашевский, Курс дифференциальной геометрии, гл. III, 1938, ГОНТИ. (Прим. перев.)]
*) Строго говоря, эти утверждения относятся только к полукругу, так как T)8 имеет разные знаки на верхней и нижней полуокружности; абсолютная величина кривизны постоянна для всего круга. (Прим. перев.)
8. Касание круга и кривой. Кривизна'). Круг
(X — af + (у — by = г2 (1)
будет иметь касание второго порядка с кривой у = /(дг) в точке (?, vj), если У, Уі и уа имеют при X = S одинаковые значения для этих двух кривых. Дифференцируя (1) дважды и полагая х = %, находим:
(5-я)» +(v,-A)W*, (S~a) + (,]-A) T11 = O, 1+^ + (T1-O)V]2 = O,
где V], T)1, г], означают /(5), f'(i), /"(?)• Эти уравнения дают:
. 4i(i-t- ч") (i+<)3/a
в = 5--— > A = V1-I--—і, г=--J—.
V]a V]2 T)2
Крут, имеющий касание второго порядка с кривой в точке (5, T1), называется кругом кривизны, а его радиус—радиусом кривизны. Мерой кривизны (или просто кривизной) называется величина, обратная радиусу кривизны. Таким образом, кривизна равна
1а
296
Глава седьмая
13. Геометрическое место центров конических сечений, имеющих касание
Xs V2
третьего порядка с эллипсом -^2-+ ^? — 1 в точке (a cos а, Ъ sin а), представляет собой диаметр эллипса
—^--Ь—^— = !.
a cos а о sin а
[Ибо сам эллипс является одним из таких конических сечений.]
156. Дифференцирование функций от нескольких переменных.
До сих пор мы занимались исключительно функциями от одного переменного х, но ничто не мешает нам применить операцию дифференцирования к функциям от нескольких переменных X1 у,. . . .
Допустим, следовательно, что f(x, у) является функцией от двух ') действительных переменных х и у и что пределы
Hm f(x + h,y)-f(x,y) _ Hm f(x,y + k)-f(x,y)
Л-0 n ft-»0 k
существуют для всех рассматриваемых значений х и у, т. е. что f(x, у) имеет производную ~ или DJ(X, у) по X и производную
— или Dyf(x,y) по у. Эти производные принято называть частными
производными или частными дифференциальными коэффициентами функции / и записывать их в виде
дх' ду'
или
fx (х, У), fy (х, у),
или проще fx, fy, или fx, f. Читатель не должен, однако, думать, что эти новые обозначения содержат какую-нибудь существенно новую идею; „частное дифференцирование по х" является в точности такой же операцией, как и обычное дифференцирование, причем единственным новым обстоятельством является то, что в выражении функции / присутствует еще вторая переменная.у, не зависящая от х.
Наши определения предполагают независимость х и у. Если х и у связаны некоторым соотношением, то у является функцией ер (лг) от X и
f(x, y)—f{x, ер (л-)}
есть функция от одного переменного х; а если x = cp(t), y = ty(t), то /(лг, у) есть функция от t.
') Новые моменты, возникающие при рассмотрении функций от нескольких переменных, достаточно хорошо выявляются на примере двух независимых переменных. Мы не будем отдельно формулировать обобщения наших теорем на случай трех и большего числа переменных.
Дополнительные теоремы
297
Примеры LX. 1. Доказать, что если х = г cos б, _y = rsin6, так что
г=,т/~ха +.У2» 9 = arc tg
то
дг
дх дх
- = cost
дг дг
2. Объяснить, почему
X
— _ —
Oy- +j;«' дх
дх
дЪ__ у
09
= sini дх^
= •—г sin
л:* -т-у2' ё[у —дг»+у
= г cost
од
олг ^ од
[Когда мы рассматривали функцию у от одного переменного х, из самих dy dx
определении следовало, что ^ н -^— являются величинами обратными друг
другу. Но это уже не имеет места, если мы имеем дело с функциями от двух переменных. Пусть P (фнг. 43) — точка (х, у) нлн (г, 9). Для нахожде-дг
ння ¦g^ мы должны дать х приращение
MMi — Ьх, сохраняя значение у неизменным. При этом точка P перейдет в положение P1. Если мы отложим вдоль OP1 отрезок OP'== OP, то приращением г будет P1P1 = Sr, н
дг Sr
з— = lim ¦s—.
дх Sx
Если же, с другой стороны, мы хотнм дх
вычислить -^p, причем X н у рассматриваются как функции от г н 8, то
мы должны дать г приращение Дг, сохраняя значение 8 неизменным. Допустим, что при этом P переходит в P2, причем PP3 = Ar. Соответствующим приращением X будет MM1 == Ах, н
дх .. Дх -^- = lim^-. дг Ar
Но Ax = Sx1), тогда как Дг^8г. Действительно, нз чертежа видно, что
.. Sr ,. P1P1 . lim — = Hm-^5-1 = cos 6,
HH1
тогда как
так что
ох
Ar PP.
Hm -г— = Hm ^n- = sec ( Ax PPt
Hm •^ = cos2 6.]
1J Конечно, равенство Ax = Hx имеет место благодаря специальному выбору Дг (а именно PP2). Всякий другой выбор приращения Дг привел бы к значенням Дх, Ar, пропорциональным полученным в тексте.
