Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
и г*1, равна абсолютной величине разности А (г1,) — A (t0), где
266 Глава шестая
в одном и том же направлении вдоль кривой и возвращается после одного полного обхода в исходное положение. Показать, что площадь, ограниченная кривой, равна абсолютной величине разности начального и конечного значений любого из интегралов
10. Применить результат примера 9 к определению площадей, ограниченных кривыми:
11. Найти площадь петли кривой хг +у3 = Заху. [Полагая у = tx, получим:
_ 3<tf _ ЗаР_
х — і +1* ' у — l+t* •
Когда t изменяется от 0 до со, точка одни раз описывает петлю. Далее, \ С і dx dy\ .. 1 f ,d(y\., 1 Г 9а2г2 .„ За»
что стремится к нулю при / — со. Следовательно, площадь петли равна
3 21
т Л]
12. Найти площадь петли кривой х6 -4-у5 = 5ах8у2.
13. Площадь кривой
X = a cos t -f- Ь sin t -\- с, у = a' cos t -4- #' sin * + с', где а/У— а'#>0, равна іг (а/У— a'/j).
(Экз. 1927 г.)
14. Доказать, что площадь петли кривой х = a sin 2г, у = а s'mt равна
(Зга. 1908 г.)
15. Начертить кривую
X = cos 2t, у = sin 3t
и найти площадь петли. Найти уравнение кривой в декартовых координатах и объяснить, почему график, соответствующий этому уравнению, отличается от первоначального.
(Экз. 1928 г.)
[В обычной теории кривых, заданных уравнениями в параметрической форме, предполагается, что х' (t) и у' (t) не обращаются одновременно в нуль; значению t, при котором обе эти производные обращаются в нуль, соответствует некоторая особенность кривой. В данном случае х' (t) к у'(t)
я
обращаются в 0 при t=±-^, когда х==—1, y = :pl. Если, например, t
возрастает от 0 до -^-, точка (х, у) движется вдоль первого графика от
(1, 0) до (— 1, — 1), но затем поворачивает обратно и возвращается по пройденному пути.
Уравнение в декартовых координатах получается исключением i: = sin»? из уравнений х = 1—2t*, у = 3т — 4гг, и только та часть второго графика^ для которой I % j ц? 1? принадлежит первому графику.]
Производные и интегралы 267
F (t) = a J у\ — е* sin** dt
и е — эксцентриситет эллипса. [Этот интеграл ие может быть выражен через функции, которые нами рассматривались.]
17. Координаты точки иа циклоиде даются уравнениями
X = a (t 4- sin t), у = а (1 4- cos t). Обозначим через P и О точки, которым соответствуют значения параметра * = — y и * = у . Вычислить площадь, ограниченную дугой PQ циклоиды и прямыми OP, OQ.
(Экз. 1934 г.)
18. Полярные координаты. Показать, что площадь, ограниченная кривой г =/(8), где /(6) — однозначная функция от 6, и лучами в = в1> в = 8г, равна F(%) — F(\), где
/=-(8) = 1 J r2d9.
Показать также, что длина соответствующей дуги равна Ф(98) — ?(?), где
С помощью этих формул определить (1) площадь и периметр круга r = 2asin8; (2) площадь между параболой г =-g-/ sec2 у и хордой, проходящей через ее фокус перпендикулярно'ее оси, а также длину соответствующей дуги параболы; (3) площадь, ограниченную кривой г= a + *cos6 в случаях а>Ъ, а=Ь и а<.6; (4) площади эллипсов
~=а cos« а 4- 2й cos a sin а 4- * sin2 а
и
— = 14-6 Cos 8. г '
[В последнем случае мы приходим к интегралу
J1
(1 4- е cos 8)2 '
который может быть вычислен с помощью подстановки (см. пример LIII. 4) (1 4- в cos 0) (1 — е cos <р) = 1 — е2.]
19. Начертить кривую 28 = — -j- — и показать, что площадь, ограниченная лучом Є = |3 и двумя ветвями кривой, касающимися Друг друга в точке
Г="?, Q = I1PaBHa | а2(|Р-1)3/2,
{dm, im г,)
16. Дуга эллипса, заданного уравнениями х = a cost, у = *sin t, между точками t = tt и t=tt имеет длину, равную F(ta)—FIt1), где
268 Глава шестая
1 г prdr
2" J І^л^Р*
РАЗНЫЕ ПРИМЕРЫ К ГЛ. VI
1. Функция f(x) определена следующим образом: она равна l-j-дгдля X5? 0, равна X для 0<х< 1, равна 2 — х для 1 ^^sg2 и равна Зд: — Xі для дг>2. Исследовать непрерывность f(x) и существование и непрерывность /' (х) при x = Q, X= 1 и X= 2.
(Экз. 1908 г.)
2. Обозначая а, ах-\-Ь, ахг-f-2#дг-f-с, ... через м0, иь U1, ... , показать, что
u^u, —3U0U1UjJ +2«? и U0H4 — 4utus + Зи|
не зависят от х.
3. Если а0, аг, ..., as„ — постоянные и
Ur=(a0, аъ ..., ar $ х, \)Т Ч,
то
U0Utn- UiU1U1n-i + UJJ^- ...+ U1nU0
не зависит от х.
(Экз. 1896 г.)
[Продифференцировать и использовать соотношение Ur' = г Ur_v]
4. Первые три производные от функции arc sin (\ь sin х) — х, где jj. > 1,
Положитечьны для Os=S л: г=С ^ •
5. Элементы некоторого определителя являются функциями от х. Показать, что производная этого определителя равна сумме определителей, образованных из исходного определителя дифференцированием одной строки.
6. Если /i, /s, /з, fi—многочлены степени не выше четвертой, то
/г
Л
/•
А
А
п
А
п
п
А'
А
А
А"
Л"
Л"
/Г
также является многочленом степени не выше четвертой. [Продифференцировать пять раз, применяя результат примера 5 и отбрасывая определители, равные нулю.]
*) По поводу этого обозначения см, стр. 217. (Прим. перев.,]
