Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
при А —0. Другими словами, если кривые касаются друг друга в точке с абсциссой ?, то разность между их ординатами в точке с абсциссой t-J-A— по крайней мере второго порядка малости относительно h.
Дополнительные теоремы 293
*) См. также Э.Гурса, Курс математического анализа, т. 1, гл. X, ГТТИ, 1933. (Прим. перев.)
**) Если /'"(S)^O, то такая точка называется точкой перегиба. (Прим, перев.)
Очевидно, что порядок малости QR может рассматриваться как мера близости кривых в окрестности точки х = \. Нетрудно видеть, что если первые я — 1 производных от / и ф имеют одинаковые значения при X = S, то порядок малости QR будет равен я, и что в этом случае
Таким образом, мы приходим к следующему определению.
Касание и-го порядка. Если /(S) = ер(S), /'(S) = ф ' (S)1 /(n)(S)=9(n)(S), но /C1+1J(S)^tP C+1) (S), то мы будем говорить, что кривые y—f(x), _у = ф(х) имеют в точке с абсциссой х = \ касание п-го порядка.
Таким образом определенное понятие касания я-го порядка зависит от выбора осей координат и неприменимо к тому случаю, когда касательная к кривым параллельна оси у. В этом случае мы можем рассматривать у как независимую, а л: — как зависимую переменную; целесообразнее, однако, рассматривать х и у как функции некоторого параметра t. Хорошее изложение этого вопроса читатель найдет в монографии Фоулера: Fowler, The elementary differential geometry of plane curves*).
Примеры LIX. 1. Пусть tf> (л:) = ax + b, так что графиком у = ср(х) является прямая линия. Условия касания в точке, для которой x = S, имеют вид /(S) = eS + o, /' (S) = а. Если мы определим а и Ъ так, чтобы эти условия выполнялись, то получим a=/'(S), b=f (S) — S/'(S). Таким образом, уравнение касательной к кривой у =/(л:) в точке X = S записывается в виде
у = xf (S) + {/(S)- S/' (S)}
или у— /(S) = (X-S)Z(S) (см. пример XXXIX. 5).
2. Условия касания первого порядка полностью определяют прямую. Для того чтобы касательная имела касание второго порядка, необходимо, чтобы /" (S) = ср" (S), т. е./"(S) = O. Мы будем называть точку, в которой касательная к кривой имеет с ней касание второго порядка, точкой распрямления**).
3. Найти точки нулевой кривизны графиков функций
2х
Зх* — 6х* +1, ц^хг> sin х, a cos2 х + Ъ sin* х, tg х, arc tg х.
4. Показать, что коническое сечение
ах2 + 2яху + by* + 2gx + Ifу + с = 0
не может иметь точек распрямления, если оно не вырождено. [Здесь
ах + яу + ? + (ях + оу + /)Уі=0
и
a + 2ftyt + Ъу\ + (Ax + by+f)y, = 0,
294 Глава седьмая
причем индексы обозначают дифференцирования по х. Таким образом в точке распрямления
a +2Ay1 + йу* — О,
ИЛИ
a (hx + by + ff - 2/i (ах + hy + g) (hx + by + f) + b (ax + by + gf = 0, или
(ab — Л2) {ax* + 2hxy + by* + 2gx -f 2fy} + a/8 — 2fgh -f 6^2 = 0.
Ho это соотношение несовместно с уравнением конического сечення, за исключением того случая, когда
аР — Vgh + bg* = c (ab — Л2)
Или
abc + 2fgk — af* — bg*—ch? = 0,
а это является условием распадения конического сечения на две прямые.]
5. Кривая
_ ах2 + 2Ьх+с У~~ ouc» + 2?jc4-T
имеет одну или трн точки распрямления, в зависимости от того, имеет ли уравнение
ах* + 2?x + 7 = 0
действительные нли комплексные корни.
[Уравнение кривой параллельным переносом осей координат может быть приведено к ннду
S___S
АР+2ВІ+С ~~ А (5-р) (S-q)'
где р, ^ либо действительны, либо комплексно сопряжены. Условие для точки распрямления принимает вид
?-3pqZ+pq(p+q) = Q,
а это ураниение имеет один нлн трн действительных корня, в зависимости от того, будет лн {pq (р + q)}* положительно нлн отрицательно, т. е. будут ли р и q действительными нли комплексно сопряженными.]
6. Показать, что если кривая из предыдущего примера имеет трн точки распрямления, то онн лежат на одной прямой. [Ураннение ?а— Зде?-|-+ P^(P + ?) = 0 может быть приведено к виду
(S-Р) (5 - Я) (S +р + q) + (р ~q)4 = 0,
так что точки распрямления лежат на прямой
^ + A(p-qfri+p + q = 0
нлн
АІ — A(AC-J92)y) = 2?.]
7. Найти точки распрямления на кривой
54у = (a- + 5)2 (х3 — 10) и набросать примерный ход криной в интервале (—6, 3).
(Экз. 1936 г.)
[См, пример XLVl. 10.]
Дополнительные теоремы 295
(1 + <)3/,2
9. Проверить, что кривизна крута есть величина постоянная, равная единице, деленной иа радиус круга; показать, что круг является единственной кривой постоянной кривизны*).
10. Найти центр и радиус кривизны в каждой точке конических сечений
. . Xі , уа .
11. Показать, что в общем случае существует единственное коническое сеченне, имеющее касание четвертого порядка с кривой у =.f(x) в данной точке Р.
12. Существует бесконечно много конических сечений, имеющих касание третьего порядка с данной кривой в данной точке Р. Показать, что их центры лежат на прямой.
[Возьмем касательную и нормаль в данной точке к данной кривой за оси координат. Тогда уравнение конического сечения примет вид 2у = ах1-\-+ 2Лл:у + Ауа, и когда х мало, одно из значений у может быть представлено в виде (см. гл. V, Разные примеры, 24)