Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
где 5 = x -\-уі, ї| = х—у і, m = Cisr. Показать, что уравнения касательной и нормали к кривой в точке и имеют вид
и*? —мї] = а(м3 —1), иг? + ит]=За(и3+1),
н вывести отсюда свойства (2) — (5) кривой нз примера 22.
24. Показать, что условие равенства корней уравнения
Xі + 4^x3 — 4<7х—1 = 0 может быть записано в виде
<Р+?)2/3-(р-?)2/3 = 1.
(Экз. 1898 г.)
25. Пусть о, ?, 7—корни кубического уравнения /(х) = 0, расположенные в возрастающем порядке. Показать, что если (а, (3) н (?, і) разделены каждый на шесть равных частей, то корнн уравнения /'(х) = 0 будут лежать в четвертых по счету подинтервалах справа и слева от ?. Каково будет кубическое уравнение в тех случаях, когда одни нз корней уравнения /'(х) = 0 попадает в точку деления?
(Экз. 1907 г.)
272 ҐЛаба шестая
26. Если <р(лг)— многочлен н X—действительное число, то между кажДоЙ парой корней уравнения <р(лг) = 0 лежит по крайней мере один корень уравнения
<р'(х) + Х<р(лг) = 0. [Рассуждать, как в примере XLl. 10.]
27. Если о н р1— два следующих друг за другом корня уравнения <р = 0, то число корней уравнения <f' -f- Хер = 0 (с учетом их кратности) между а и ff нечетно.
Если все корнн уравнения <р = 0 действительны, то и все корни уравнения <р'-[-Хср = 0 действительны, и если все корни первого из этих уравнений— простые, то такими же будут все корни второго.
(Экз. 1933 г.)
28. Вывести из примера 27, что
(?)"«-¦»¦
имеет п простых корней, которые все лежат между —1 и 1.
(Экз. 1933 г.)
29. Исследовать на максимумы и минимумы функцию f(x) н найти действительные корни уравнения /(х) = 0, если f (х)—одна нз функций
X— sinx — tg а (1 — cos дг), дг — sin лг — (а — sin а) — tg у (cos а — cos лг)
и а—угол между 0 н гг. Показать, что в первом случае условием двойного корня является то, чтобы tg о — а было кратным it.
30. Показать, что можно найти такое отношение X:;*, что корни уравнения
X (алг* + 26лт 4- с) + (j. (а 'х* + 26'лг + с') == 0
будут 'действительными н разность их будет равна любому заданному числу, за исключением того случая, когда корни этих квадратных трехчленов действительны и перемежаются, н что в этом случае корни всегда действительны, но существует нижняя грань для модуля нх разности.
(Экз. 1895 г.)
[Рассмотреть график функции
ах? -f 2*х -f- с а'лг8 + 2Улг + с':
см. пример XLVI. 13 н сл.]
31. Доказать, что
sin ялг
-лт(І-лг)
для 0 < X < 1, и построить график этой функции.
32. Построить график функции
1 1
Я Ctg ЯЛГ----— .
5 X лг— 1
33. Установить общий вид графика функции у, если дано, что
ау_(вх* +X-I)(X- 1)*(лг+1)а алг лга
(Экз. 1908 г.)
34. Прямоугольный лист бумаги сложен так, что один нз его углов лежит иа противоположной стороне. Показать, как должна быть сложена бумага, чтобы длина сгиба была наибольшей.
Производные и интегралы
273
35. Наибольший острый угол, под которым эллипс
a- ^b*
может пересекаться с концентрической окружностью, равен
aa — *a arc,g-2^-'
(Экз. 1900 г.)
36. Даны площадь Д и полупериметр s треугольника. Показать, что максимум илн минимум одной из его сторон является корнем уравнения s(x— s) jc* + 4Да = 0. Исследовать вещественность корней этого уравнения и установить, дают ли онн максимум нли минимум длины стороны.
[Уравнения а ~\- b -\- с = 2s, s(s — a)(s—b)(s — с)=Д* определяют а и b
da
как функции от с. Продифференцируем по с и положим ^r-0. Тогда мы
а
найдем, что A = с, s—6 = s — с~~2> 0ТКУда следует, что
s(a—s)a»-(-4Aa = 0.
Это уравнение имеет три действительных корня, если S1 > 27Д* и один,— если S4 < 27 Д*. Для равностороннего треугольника (для которого периметр при данной площади — наименьший) s4=27A*. Таким образом, неравенство s4 < 27 Д* невозможно. Следовательно, полученное уравнение для а имеет трн действительных корня, а так как их сумма положительна, а произведение отрицательно, то два из них положительны, а третий отрицателей. Из двух положительных корней один соответствует максимуму, а другой — минимуму.]
37. Площадь наибольшего равностороннего треугольника, стороны которого проходят через три данные точки А, в, С, равна
2Д+^±^, где а, Ь, с —стороны, а Д—площадь треугольника ABC
(Экз. 1899 г.)
38. Если Д и Д' обозначают площади двух наибольших равнобедренных треугольников с вершинами в начале координат и основаниями, вписанными в кардиоиду r = a (1 -f-cos8), то
256ДД' = 25а4 Yb.
(Экз. 1907 г.)
39. Найти предельные значения, к которым стремится
Xі — 4у + 8 у—блг + З '
когда точка (х, у) стремится к точке (2,3) вдоль кривой х*у — 4х* — 4д:у -f у» -+ 16х — 2у — 7 = 0.
(Экз. 1903 г.)
[Если мы перенесем начало координат в точку (2,3), то уравнение кривой принимает вид s3i\ — $*-f-t]a = 0, а данная функция преобразуется в
р + 45 —4д_ „,« + &, — « '
Полагая т\ = И, найдем, что
1 —t*
18 Г. Харди
274 Глава шестая
Кривая имеет петлю с двойной точкой в начале координат, которой соответствуют значения t = — 1 в г=1. Выражая данную функцию через t и устремляя t к — 1 и к 1, получим, что искомые предельные значения
