Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
л-*оо
Это разложение f(a-\-h) известно под именем ряда Тейлора. При а = 0 эта формула принимает вид
/(A) =/(0) + hf (0) + (0) + ...,
что называется рядом Маклорена. Функция Rn называется оста-точным членом в форме Лагранжа.
Читатель должен остерегаться ошибочного мнения, что существование всех производных f(x) является достаточным условием Для справедливости разложения функции в ряд Тейлора. Существенным является поведение Rn.
(1) Ряды для синуса и для косинуса. Пусть f(x) = s\nx. Тогда f(x) имеет производные всех порядков для всех значений х. Кроме того, \fn (х)\< \ для всех значений аг и я. Следовательно, в данном случае W-
^"'ї^яТ , что стремится к 0 при п—»со (см. пример XXVII. 12), каково бы ни было значение А. Отсюда следует, что
А* А3 А4
sin (х -f- А) = sin X -f- A cos х — sin лг — cosa--|- ^ sin лг -f-...
для всех значений лг и А. В частности
5. Доказать, что если sinx = xys и х и у— 1 малы, то
v=l-k*+ Ш^4 + "^' х* = -12(у-1) + ~(у-1Г+о{(у-1)*}.
(Экз. 1934 г.)
152. Ряд Тейлора. Предположим, что f(x) имеет производные всех порядков в интервале (а — т), а -\-ч\), содержащем точку дг = а. Тогда, если А по модулю меньше чем і\, то
Да + А) =/(а) + hf (а) +... +-J^/t-i) (а) + где 0<^Оп<^1 для всех я. Или если ПОЛОЖИТЬ
л—1
о
то мы имеем:
/(a+ A)-S11 = /?,,.
288
Гла&сГседьшія
для всех значений я. Аналогично можно доказать, что cos(x+ ft) = cos X
и
COS ft
(2) Биномиальный ряд. Пусть /(х) = (1 + х)т, где т — любое рациональное число, положительное или отрицательное. Тогда
/ (") (х) = т (т — 1)... (т — я + 1) (1 + х)т -л и ряд Маклореяа (с ft, замененным на х) имеет вид
(1 + *)» = 1+ (")*+(?)*• + ... .
Когда m—положительное целое число, этот ряд обрывается, и мы получаем известную биномиальную теорему с положительным целочисленным показателем. В общем случае
#д = ^Яп) (BnX)=[^J х»(1+е„х)т-Л,
и для того чтобы показать, что ряд Маклореяа действительно представляет (I + х) т в некоторой области значений х, когда т не является положительным целым числом, мы должны показать, что Rn—»0 для каждого значения хиз этой области. Это в действительности имеет место при —1 <х<1. С помощью приведенного выше выражения для Rn можно показать, что разложение справедливо для 0^x < 1, так как для таких х
(1+6„х) *»-«<!,
если я > т и х" —'0 при я —> со (пример, XXVII. 13). Но при —1< х <0
возникает затруднение, состоящее в том, что здесь 1 + 9„х<;1 и (1 + 9„хул—п > 1, если я > т. Зиая только, что 0<9„<1, мы ие можем быть уверены в том, что 1 +9„х ие является очень малым, а, следовательно, (l+9nx)<n—п очень большим.
Для того чтобы доказать биномиальное разложение с помощью теоремы Тейлора, иужио воспользоваться другим представлением остаточного члена Rn, которое мы рассмотрим ниже (п. 167).
153. Приложения теоремы Тейлора. А. Максимумы и минимумы. С помощью теоремы Тейлора может быть получена система признаков максимума и минимума более полная, чем рассмотренная в пп. 123 и 124, хотя эти результаты и не представляют большого практического интереса. В предположении что ф (л:) имеет производные первых двух порядков, мы установили следующие достаточные условия для того, чтобы 9 (х) имела максимум или минимум при X = S: для максимума 9' ($) = 0, 9" (SX 0; для минимума 9'(S) = O, ф" (S)^O. Очевидно, что эти признаки неприменимы в том случае, когда и 9' (S) и 9" (S) равны нулю.
Допустим, что 9 (х) имеет я производных
<?'(х), 9"(jc), 9<ЯЧ*).
я sm X — 2Т cos х + Sln X +.
= 1-
^4- — "2! ' 41 '
Дополнительные теоремы
289
из которых все, кроме последней, обращаются в нуль при x = S. Тогда, согласно (2) п. 151,
Ф (S + А) - ф (S) = ^ cp("i (S) + о (А"),
и это выражение должно иметь в случае максимума или минимума постоянный знак для достаточно малых положительных или отрицательных А. Для этого, очевидно, требуется, чтобы п было четным; а если п — четное, то мы будем иметь максимум или минимум в зависимости от того, будет ли «p(") (S) отрицательно или положительно.
Таким образом, мы получаем следующее предложение: если «р (S) является максимумом или минимумом, то низшая производная, не обращающаяся в нуль при х = %, должна быть четного порядка, причем если ее значение в этой точке отрицательно, то «р (S) является максимумом, а если оно положительно, то «р (S) является минимумом.
Примеры. LVH. 1. Проверить справедливость теоремы для функции у (х) = (х — а)т, где т— положительное целое число и % = а.
2. Исследовать функцию (х-—а)т(х — Ь)п, где т и п — положительные целые числа, на максимумы и минимумы в точках X = а и х = Ь. Начертить все возможные виды графика функции у = (х—а)т(х — Ь)п.
3. Исследовать на максимум и минимум в точке х = 0 функции sinx—х,
X^ X^ X^ X^
sinx —x + gj-, sinx — х~{~зї —5Т""' cosx—l< cosx—1 —]—g-j ,
її** x*
154. В. Вычисление некоторых пределов. Часто бывает необходимо вычислить предел отношения двух функций при стремлении аргумента к некоторому значению, при котором обе функции обращаются в нуль. Допустим, что этим значением аргумента х является 0. Для вычисления таких пределов существует несколько методов.
