Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
к, r-i
остается инвариантным, а квадрат длины вектора s из
п
сопряженного пространства принимает вид 2 g'crsksr
к, r=l
п
Q— 2 5*/'5л5г — квадратичная форма, двойственная форме
а;, г=1
п \
Р = 2 ?krsksr)- Поэтому при таком преобразовании коор-
к, г=1 /
динат равенство (4) переходит в равенство
га
8] § 2. ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМОЙ 357
2х+ЧУ"^)Пс"+Чп [C(Q_;0)2]
F[(c24-P+/0)x]
2+Х
1 /П
(О-Л)'
(8)
Через УД в формуле (8) обозначено аналитическое продолжение ветви этой функции, принимающей положительные значения для положительно определенных квадратичных
форм *). Отметим, что УД = У|Д| е 2 , если каноническое представление формы Р имеет q отрицательных членов. Аналогично доказывается, что
2х+ЧУ2^)Пс^+Х K„+[c{Q + lO)4
F \{с2 -f-P — /0)х] = -¦==--—-г—-. (9)
Г (— X) У Д 1 (2. +\\
В этом случае имеет место равенство УД = У|Д| е 2, где q — число отрицательных членов в каноническом представлении формы Р.
Выразим теперь обобщенные функции F [(с2 -f-Р-f- Ю)х] и F[(c2-\—P — i0)x] через обобщенные функции Q+ и Q_. Используя разложение K\(_z) в степенной ряд и формулу (4)
*) Аналогичное аналитическое продолжение было подробно рассмотрение в п. 3, и мы не проводим соответствующих рассмотрений в этом месте.
где е > 0, а Рх — положительно определенная квадратичная форма. Существование пределов (6) и (7) при с = 0 было доказано в п. 4, а существование их при с Ф О следует из отсутствия особых точек на поверхности с2-{—Р = 0.
Если квадратичная форма изменяется в «верхней полуплоскости», то двойственная ей форма Q изменяется в «нижней полуплоскости». Поэтому в силу единственности аналитического продолжения из формулы (5) следует, что
358 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [9
из п. 7, мы получаем после несложных преобразований F[(c2-{-P-\-i0)x] =
Ul) n(cQl)
Г(_Х)У|Д| „4(x+?) 2
га га am , га
¦, га
L Q
(10)
Р[(с2 + Р —Ш)х] =
, га tfrci га
г(-х)УТдТ
//<а>
"2
-Х-
Q
(Н)
Формулы (10) и (11) значительно упрощаются, если форма Р знакоопределена: если Р — положительно определенная форма, то в квадратных скобках остаются лишь первые слагаемые, а если Р— отрицательно определенная форма, то лишь вторые слагаемые.
9. Преобразования Фурье обобщенных функций (с2-\-Р)х+ и (с2-(-'>)х_. Рассмотрим теперь обобщенные функции (с2-\—Р)х+ и (с2-\-Р)х_. Они являются линейными комбинациями обобщенных функций (с2-\—Р-\-Ю)х и (с2-\-Р—/0)х. Поэтому их преобразования Фурье являются линейными комбинациями преобразований Фурье обобщенных функций (с2 + Р-|-Ю)х и (с2-\~Р — /0)\ а именно:
Р[(с2 + Р)х+] =
= ie~iX*F [(с2+р+ю)х1—^р [(с2+р —ад} (1)
Р[(с2-\-Р)]_]= '
- 2ЖХ1Г {F [(с2 + Р + ад - F [(с2 + Я - Ю)Х]^• (2)
9]
§ 2. ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМОЙ 359
Подставим в эти формулы вместо F {(с2 +-Р +¦ /0)х] и F [(с2+-Р — Ю)х] выражения (8) и (9) из п. 8. Мы получим:
, га га . п , . 2 /тс С
Г (Х+1)
X
г
У 1Д|
Кп Ic (Q—Ю)
ч
X
[с((? + Ю)а]
(Q + ю)
(3)
, п га „ га ,
^[(С^ + Р^] 2" 2/тс 2 "с2
Г (Х+1)
X
X
""а"
•п + x[c(Q-/0)3] /С [c(Q+/0)a]
—-1-х
(4)
(Q_i0)2(X+") (О + Ю)^^)
Можно выразить обобщенные функции — и
F\(c*+P)4 , Г(Х+г)
¦ г (х. ^-1) через обобщенные функции Q+ и Q1. Для
этого надо подставить в формулы (1) и (2) вместо F [(с2 +- Р +- Ш)х] и F[(c2+-P —Ю)х] выражения (10) и (11) из п. 8. При этом мы получаем
Г (Х+1)
VI д
X
X
/с
sin(X-f-f)
х+?
2 sin
X
sm(x+-|)^3-—- + s: Q2 V aJ
(* + т)"
X
sin
рте
2
(5)
360 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [10
Через р в этой формуле обозначено число положительных членов в каноническом представлении формы Р,р -\- q — п.
f[(c*-\-p)x_]
Формула для —р (А.-|- 1) получается из формулы для
р[(.с-* + Р)\] . / д\ . q . рх
—Р 2) заменой sin [к —j—^-J тс на—¦ sin у тс и sin у-
— sin -|~ "тг) тс> Она имеет вид
на
Если в формулах (3) и (4) положить с = 0, то эти формулы перейдут в выведенные в п. 6 формулы (5) и (6) для
Р+ и Р\. Частными случаями этих формул являются установленные в п. 6 § 2 гл. II формулы для преобразований Фурье обобщенных функций (1—х2)х, (1 —f-jc2)x, (л;2—1)х.
10. Преобразования Фурье обобщенных функций
г ^ ^_ ^ и j ^ при целых значениях А. Преобразования Фурье обобщенной функции 8 (с2 -\-Р) и ее производных. Выведенные в п. 9 формулы преобразований Фурье
(С* + Р)Х (С2 + Р)\
обобщенных функций ^ ^ и г ^ требуют допол-
10] § 2. ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМОЙ 361
нительного исследования при целых значениях X. Это связано с тем, что обобщенные функции
К
п [с(Р+Ю)а] Кп [c(Q-/0)2]
Кп U(Q-/0)'
