Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
дФ /дФ \
Здесь слева ^--производная функции Ф в смысле обоб-
щенных функций, а справа (д^-.JI обозначает обобщенную функцию, построенную по формальной, т. е. обычной, производной функции Ф; Г — граница области О.
1»
• • хп) j фЛх1 • • • dXi-ydXi+y ... dx, г
(5)
31 § 3. однородные функции 381
¦I
Ф(*г.....*„) dT<^-»*»> dXl...dxn =
= — f Ф • • • • *n) -g|- [<P Of • • • • ¦*«) ¦
G *
— <p(0. ...,0)]dXl...dxn —
dxn.
в—в 1
Здесь R — G — дополнение к области G.
Произведя теперь интегрирование по частям, мы получаем функционал (("^")|G» ?)> а контурные интегралы по поверхности Г сократятся, кроме интеграла
(—1)*"1(Р(0) /Фа*1 ••• dXi-Xdxi+l ... dxn. г
Тем самым формула (5) доказана. Так как ее левая часть от области G не зависит, то не зависит и правая. В последнем можно убедиться непосредственно, что предоставляется читателю.
Примеры.
1. Докажем формулу
Мы имеем:
д 2х
^1п(^ + Л = ___.
Это верно как в смысле обычных, так и в смысле обоб-
2х
щенных функций, поскольку функция х^_^_ ^ eu*e локально интегрируема. Теперь по формуле (5) получаем: <Э2 , / , , ,ч д 2х I л-з — уз \ I , п9, , . Г xdy
Действительно, мы имеем:
382 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [3
Аналогично
^1-\п(х24-у2) = ( у*-* \ — 2Ь(х v)f ydx
г
Складывая обе формулы, мы получаем:
г
Выбрав в качестве кривой Г окружность с центром в на-
/х d у — у dx г, -_у2 _|_ у2- = '
Г
Это и доказывает формулу (6). Из нее следует, что в двумерном пространстве
Д1пу = 2тсо(л-, у)
*=^+^)-
2. Подсчитаем A {—^j в трехмерном пространстве
(г2 = х2 -{-у2 -\-z2). Один раз можно продифференцировать в обычном смысле:
_а_ __х_ _d_ J____у_ д 1 __г_
дх /¦ ~~ гз • ^у г — г' ' йг г ~ гЗ '
Формальные производные правых частей равны соответственно
Зх? — г* Зу? — г* 3^ — Г-
рЪ 9 рЪ * рЬ '
их сумма равна нулю. Применяя трижды формулу (5) и складывая результаты, находим:
/ & , а» . д* \ 1 , . fxdydz — ydxdz + zdxdy
г
Выбирая в качестве Г сферу и переходя к полярным координатам, получаем, что интеграл справа равен —4тг. Таким образом, в трехмерном пространстве
д(4-) = — 4* 8 О, у, z). (7)
3]
§ 3. ОДНОРОДНЫЕ ФУНКЦИИ
383
Аналогичным способом нетрудно подсчитать А в «-мер-
ном пространстве («^-3) и получить формулу, приведенную в п. 3 § 2 гл. I.
Поясним теперь несколько в ином плане, почему обращение вычета обычной однородной функции Ф (х) степени — п в нуль есть условие однородности соответствующей обобщенной функции, а также роль понятия вычета.
Так как Ф (хг.....хп,) — формально однородная функция
степени —«, то, согласно уравнению Эйлера,
п
к=1
или в дивергентной форме
д дхк
Это равенство является формальным, т. е. удовлетворяется во всех точках, кроме начала координат, где Ф имеет особенность. С другой стороны, как мы знаем из п. 1, уравнение Эйлера, понимаемое в смысле обобщенных функций, характеризует однородные обобщенные функции соответствующей степени.
Покажем, что если понимать хкФ как обобщенные функции, то имеет место равенство
п
VA(**"» ^сНх), (8)
дхк
где с-—вычет функции Ф. Действительно, по формуле (5) мы имеем:
д (хкФ) _ / д (хкФ) \ | , ~ дхк \ дхк )\0 ~~г~
+ S (*i.....*п) / ф (— lf~1xkdxl . . . dxk_t dxk+1 . . . dxn.
384 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [3
{х\+ *1р 9 (*. У) dx dy:
f{*+ I? (*. У) — ?Ф. 0)] dx dy -
R-a
Суммируя по k, мы получаем:
к \ к /а г
и так как ^ ^djc^ ~ ^' мы и ПРИХ0ДИМ к формуле (8).
к
Следовательно, если с = J* Фса Ф 0, то однородность
г
функции Ф (х) в начале координат нарушается. Если Ф (х) — потенциал некоторого поля, то это нарушение однородности — свидетельство наличия в особой точке источников, зарядов и т. п.
Мы показали, что условие, при котором формально однородная функция Ф (х) степени —п определяет однородную обобщенную функцию (регуляризованное значение
интеграла J Фydx), состоит в том, чтобы вычет Ф (х)
в начале координат равнялся нулю.
У знакоположительной функции Ф (х), очевидно, вычет не обращается в нуль; поэтому знакоположительная однородная функция степени —п не может определять однородной обобщенной функции. Так, на прямой обобщенная функция -г—] (см- гл- I. § 3) неоднородна. На плоскости обоб-
1 1
щенная функция а ^точнее, ^ ^ , действующая
по формуле
в R-G
х1 — у2
неоднородна; в то же время обобщенная функция ^ _|_ у2у2' определенная аналогичной формулой:
4]
§ 3. ОДНОРОДНЫЕ ФУНКЦИИ
385
однородна, так как вычет обычной функции^_|_ ^ j равен нулю (по соображениям симметрии).
4. Обобщенные однородные функции степени — п — т.
Пусть теперь Ф (х^.....хп)—-обычная однородная функция
степени — п— т, где т—натуральное число. Зададим снова произвольную область G, содержащую начало координат, и определим регуляризованное значение интеграла
