Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
г
(через Г обозначена та часть кривой г=1, на которой
^ЧУ У > 0)- Особые точки по X функции /(г) могут возникнуть лишь от тех точек Nv N2, ... на кривой, в которых Р(У У обращается в нуль. Но эти точки кривой Р(У У = 0 приводимы на линии интегрирования Г*). Пусть Ni — одна из таких точек.
Ее приводимость на кривой Г означает просто, что в окрестности ыг на Г можно ввести локальную координату с-, в которой Р однородно и, значит, имеет вид
*) Можно доказать, что если поверхность F(x)=0 приводима в /z-мерном пространстве, причем функция F зависит, скажем, только от первых двух координат хъ х%, то линия F (х) = 0 на плоскости также приводима.
400 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [3
Предполагая, что функция ф отлична от нуля только в окрестности точки Nit мы сводим изучение особенностей
/х (г) к изучению особенностей интегралов J* ?хг ф2 (г, ?) dt,,
где фх(г, ?) = ф(?1, У.
Но особенности такого интеграла нам хорошо известны из § 3 гл. I. А именно, такой интеграл имеет простые полюсы в точках
х___1___2_ _ k__
Таким образом, мы получаем, что интеграл (9), т. е, функция Д(г), имеет простые полюсы в точках последовательностей
-I.....<10>
где lt — степени точек нулевого порядка, инцидентных исследуемой точке М, т. е. на плоскости — степени точек ветвей кривой, проходящих через точку М (см. черт. 7).
Функция двух комплексных переменных (6) запишется через рассмотренную функцию Л (г) следующим образом:
со
/х.ПФ] = / r*fx(r)dr. (11)
О
Применяя к интегралу (11) снова результаты § 3 гл. I, мы получаем, что /х.цЛт1] при фиксированном X, не принадлежащем ни одной из последовательностей (10), аналитически продолжается во всю плоскость комплексного переменного (л, за исключением точек
в которых эта функция имеет простые полюсы. Полагая р. = \т -\— 1 и применяя лемму, мы получаем отсюда, что интеграл
оо
/ rXm+\dr j Рх %) ф (?!, У da = 1К тХ+1 [ф]
О
имеет полюсы в точках последовательностей (10)
31
§ 4. ПРОИЗВОЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ В СТЕПЕНИ /. 401
а > о
и в точках последовательности
/и ' /и '---- т ' ' • * ^
Если к=к0 принадлежит одновременно последовательности (12) и одной из последовательностей (10), то в точке к — к0 рассматриваемый интеграл имеет, вообще говоря, полюс 2-го порядка.
Так как в локальной системе координат
f ' " ' I °Х (Хи "" Хп)(? (Хи----Хп) dxi ¦• • dxn =
= ff
Р >0
со
о
то сформулированная в начале этого пункта теорема доказана.
Определим вычеты обобщенной функции 0х (хи .... хп) в ее простых полюсах.
Пусть сначала к0 =--k ~j~ * есть полюс функции
н
Gx(Xl, . . ., хп), возникающий благодаря обращению функции G(xx, .... хп) в нуль в точках 1-го порядка. Выше, в п. 2, мы показали, что вычет (0х, ср) в таком полюсе равен интегралу ^ j* сол(ср), где сод. (ср)—дифференциальные формы,
определенные в окрестности любой точки 1-го порядка поверхности G (xv . . ., хп) — 0. Если участок поверхности, по которому интегрируется шк (ср), граничит с точками 2-го порядка поверхности О (хх, хп) ~ 0, то j wk (ср) может
оказаться расходящимся. Вычет равен в этом случае регуля-ризованному значению соответствующего интеграла *).
*) Так как рассматриваемый полюс Xq простой, то существует
lim (к — Х0) I ... J Gx (хь хп) <р (хъ хп) dxx ... dxn. JG>oJ
Регуляризованное значение ~гг f шк (<р) можно определить, напри-мер, как этот предел.
26 Зак. 460. И. М. Гельфавд и Г. Е. Шилов, вып. 1
402 ГЛ. HI. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ {3
«, Р 1 2 г
*•3 " г р т (5lt у
Рассмотрим теперь простой полюс \> —— ~т~ ' в0зни" кающий у обобщенной функции Gx (xt, . ... хп) из-за обращения функции G (хъ . ... хп) в нуль в точках 2-го порядка. Интеграл
J* . . . J* Gx (#!.....хп) ср (лгх.....д;п) dxx . . . dxn
<?>0
мы представили в окрестности точки 2-го порядка как
со
/ /-Хт+1А (О dr, где Д (г) = j* Рх (Г„ У ф (гГь /-Г2) da. о г
f (&i> ^г) — значение функции G (jq, .... хп) в локальных координатах,
Ф&. У = / • • • /<pi&. • • ?)л3 . .. dl,n.
а срх (?!, .... ?„) — ? C*i> • • •. ¦*«)• Для тех значений X, для которых интеграл расходится, функция /х(г) равна регуляризованному значению интеграла (аналитическому продолжению по X функции /х (г) от положительных значений X).
со
Вычет интеграла J rXm+1fx(r) dr при Х = Х0 = — fe^"r
(_1*)Д<*><0) равен -^-.
Продифференцируем функцию Д, (г) по г под знаком интеграла (это допустимо при положительных X, следовательно, допустимо и в регуляризованном значении интеграла) и положим г = 0. Мы получим тогда для вычета
обобщенной функции Gx (jq.....хп) при Xq =--— вы.
ражение
к +2
4]
§ 4. ПРОИЗВОЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ В СТЕПЕНИ X
403
В § 1 мы получили формулу для вычетов аналитической обобщенной функции fx, где /—положительная однородная функция первой степени (см. формулу (8) п. 3 § 1). Сравнивая полученное выражение с этой формулой, мы видим, что вычет обобщенной функции Gx (хи .... Хр) записывается в локальных координатах аналогично вычету положительной однородной функции, с той разницей, что интеграл по кривой Г понимается как регуляризованное значение интеграла (для функции, положительной в окрестности точки 2-го порядка, этот интеграл всегда сходится).
