Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
24 Зак. 460. И. М. Гельфанд а Г. Е. Шилов, вып. I
370 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [2
в
(R — О — дополнение к области О). Преобразуем j fx(x)dx. Так как fx(x) — однородная функция степени X, то
df (х) , , , х*-дхГ = Х f <*)
и, следовательно,
G 7с=1 tf
Проинтегрировав по частям по соответствующей переменной каждое слагаемое правой части, получим, что правая часть формулы (3) может быть представлена в виде
Y J /Л (х) [хх dx2 . . . dxn — хг dxx dx3 . . . dxn -(-..„
Г . . . ± xndxx .. . dxn_t\—y J fx(x) dx
в "
(Г — граница области О) и, значит, f fx(x)dx =
G
= Х~+~7Г f /х(.х)[х^хг. . .dxn — ... ± xndxx. . Лхп_х\. (4)
продолжение во всю плоскость комплексного переменного X, за исключением точек Х =— п, —п — k, .... в которых /х может иметь простые полюсы.
Полученная обобщенная функция является регуляризован-
ным значением интеграла J*/х<р dx (см. гл. I, § 1, п. 7), и
так как регуляризованное значение интеграла при X >• — п совпадает с обычным интегралом, то мы сохраним для регу-
ляризованного значения интеграла обозначение Jf\dx.
Для доказательства сформулированного утверждения выберем в «-мерном пространстве произвольную область G с гладкой границей Г, содержащую начало координат, и представим интеграл (1), где ReX >—п, в виде
(Л <р) = J> (*) [<р (х) — <Р (0) ] dx -ь
+ / Iх (х) <р (х) dx -4- ср (0)/ /х (х) dx (2)
2J § 3. однородные функции 371
ср(О) f
Х\ dxe> ... dxn — .,. i x*fi dx^ ... dXfi—f
(6)
г
Будем в дальнейшем дифференциальную форму хх dx2 . • . dxn — х2 dxy dx3 . . . dxn -f- ... ± xn dxx.. . dxn_x коротко обозначать св. Легко проверить, что если а — эле-мент поверхности, то — / со есть ооъем конуса с верши-
ной в начале координат, опирающегося на площадку а.
Предположим, что поверхность Г задается уравнением Р (х) = 1, где Р (X) — вспомогательная однородная функция размерности 1,
24*
Подставляя найденное значение Jfx (х) dx в формулу (2),
о
мы получаем:
(Л <р) = J> О) Г? (*) — <р (0) ] rfx + / /х (х) ср (х) dx -4-
G B-G
+ «//Ч*)1*1<**2.. .djfn — ... ± xndxt.. •dxn_1]. (5)
г
Так как /х (х) — однородная функция степени X, а ср (х) — ср (0) имеет при х = 0 нуль 1-го порядка, то первый интеграл правой части сходится для ReX>—п—1. Второй и третий интегралы сходятся для всех X, так как при интегрировании исключена окрестность начала и ср (х) финитна. Таким образом, правая часть формулы (5) имеет смысл при ReX>— п—1 и представляет собой аналитическую функцию X, первый полюс которой зависит от размерности пространства, а именно находится в точке Х= — п.
Формула (2) дает, следовательно, явный вид аналитического продолжения обобщенной функции J* /х (х) ср (х) dx
на область ReX> — п — 1, Хф—п. Прежде чем перейти к- дальнейшему аналитическому продолжению функции, изучим более подробно важный для дальнейшего вычет при
Х = — п. Вычет J*/х (х) ср (х) dx в точке Х = — п, как это
видно из формулы (5), равен
372 ГЛ. HI. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [2
*) Мы предоставляем читателю доказать это непосредственно
и покажем, что тогда форма <о связана с поверхностью Р (х) — 1=0 в смысле п. 2 § 1. Чтобы в этом убедиться, достаточно проверить, что в точках поверхности Г
dP • <о = dxt___dxn.
дР J , дР .
Подставим сюда dP = -3— dxt +...-(- -5— dxn и выражение
ОХ} охп
формы ш. Используя правила dxidxj = — dxjdxi (IФ j) и dX{dX{ = 0, получаем слева
По формуле Эйлера величина, стоящая в скобках, есть просто Р и остается воспользоваться тем, что Р = 1 на поверхности Г.
Вычет функции J*/x (х) ср (х) dx при Х =—п запишется
коротко в виде
?(0)УУ^. (7)
г
Выражение (7), будучи вычетом аналитической функции, не зависит от выбора поверхности Г *). Следовательно,
/" определяется значениями функции f~n (х) в любой
г
окрестности начала координат.
Мы назовем величину J'jkj^j вычетом (обычной одно-
г
родной степени — п) функции f~n(x) в начале координат. (Подчеркнем, что он не совпадает с вычетом аналитической обобщенной функции /х в точке X = — п: последний равен Jfrrj^j^(x)-) Отметим, что если вычет функции г
f~~n (х) в начале координат равен нулю, то аналитическая обобщенная функция fx(x) не имеет полюса при \ — — п; в силу предложения 4 из п. 1 формула (5) определяет тогда при X = — п однородную обобщенную функцию степени — п. Это обстоятельство мы будем иметь в виду в следующем пункте этого параграфа.
Вычет однородной функции степени — п имеет простой геометрический смысл. Действительно, выберем в качестве
2] § 3. однородные функции 373
1 V ^ д*Т(0)
X?' . . . X п
п
dx-f-
дх? . .. дх*
Q-G
Za 1и!(Х + п + /я) йл лха«
mr
X /Vх О) х"1 . . • х^« ш. (8)
замкнутой поверхности Г поверхность уровня f(x)~l. Тогда вычет перепишется в виде J* са. Поскольку J* са есть
г <т
/г-кратный объем конуса, опирающегося на площадку а,
