Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
мы получаем, что вычет функции f~n (х), т. е. J* jfrr^y равен
г
riV, где V — объем области /(х)^1.
Перейдем теперь к дальнейшему аналитическому продолжению интеграла. Тем же самым способом, что и ранее, вычитая из ср (х) и добавляя дальнейшие члены ее ряда Тейлора, можно получить формулу, аналогичную (5) и дающую аналитическое продолжение нашей обобщенной функции в полуплоскость ReX>—п — k — 1. Для этого нужно только преобразовать интегралы вида
/ fX(x)xV . . . xlndx,
G
подобно тому как это сделано для
f f (x)dx,
G
в интегралы по поверхности Г, ограничивающей G, пользуясь однородностью функции fx (х) xl1 . . . хпп. Окончательная формула будет иметь следующий вид:
//Х (*) <Р (¦*) /V О-)Гср(х) — ср (0) — . . .
374 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [2
Из этой формулы следует, что J*/х (х) ср (х) dx представляет собой аналитическую функцию для Re X ;> — п — k — 1, кф—п, —п—1, —п — k (при к — — п — k — 1
перестает сходиться первый интеграл). В точках Х =— п — т
(т = 0, 1.....k) J/х (х) ср (х) dx имеет простые полюсы,
вычеты которых очевидны из последнего слагаемого формулы (8). А именно, вычет обобщенной функции /л (х) при к =— п — т равен
(-1)т V ^ТОМх) Г х?'...Х>
_ отЧх) г ^
ml . ^ J *п+т /1 Ш- (9)
dxj ... дхпп ff /»+» (лг)
Таким образом, для обобщенной функции /х (х) справедливы, например, соотношения:
lim (Х-|-я)/х(х) = 8(*) Л
x>-» / /" (х)
lim (X-(-«-(- l)/x(x) =
X->—m—1
__(?Q (X) Г Хгш___дЬ (X) Г Хпа>
— дхх J fn+i (ЛГ) ' • • дхп J fn+i (дг)
и т. д.
fti+m ^ " ш не зависит от выбора поверхности Г. Если принять за Г поверхность /(х) — 1, то мы получим для этого интеграла выражение J* xf . . . х*« со, рав-
ное с точностью до множителя одному из моментов т-го порядка области, ограниченной поверхностью /= 1.
Это доказывается следующим образом. Рассмотрим момент области 1, равный интегралу
/= j х\' ... xanndx.
2)
§ 3. ОДНОРОДНЫЕ ФУНКЦИИ
375
Введем в области /<; 1 новые координаты ut =/, и3.....ип с якобианом D {^^j Ф 0. В этих координатах
dx = D ^ ^ dut dii-i... dun.
Обозначим
du$ ... dun;
на поверхности /=1 эта форма совпадает с рассматриваемой в тексте. Запишем интеграл / в виде
1
/== J* j xl' ... х*п о> dc.
Очевидно, что внутренний интеграл есть однородная функция аргумента с степени ах -(- • • • + <*№ — п -f- 1. Значит,
$ х\> ... х*»* = „«.+ ¦ ¦ ¦ +«ra-n+i f xl' ... Х*п«о
и
/ = / Л? ... ^-о,]" Са,+ • • • +ara-"+i ate,
/=1
так что
Iх'1-" Хп™ dX - <х:+ ... +«„_„+2 I •••
Таким образом, вычет обобщенной аналитической функции fx (х) в точке X = — я — /те представляет собой линейный дифференциальный оператор т-го порядка от Ь(х) с постоянными коэффициентами. Коэффициенты с точностью до множителя, не зависящего от f, равны всевозможным моментам т-го порядка области, ограниченной поверхностью /— 1.
Интегралы
I
X 1 X 11
1 •"• ге о) (at+ ... -\-ап = т)
/та+т (х)
мы аналогично предыдущему назовем вычетами (обычной однородной степени — п — т) функции f~n~m (х). Вычет обобщенной аналитической функции fx(x) в точке Х =
376 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 12
— — п — т равен их линейной комбинации с коэффициен-
(_\\т дтъ (х\
тами -{---—-. Если все вычеты обычной одно-
ml дх? ... дх'»
родной функции f~n~m (х) равны нулю, то по формуле (8) при \ — — п — т ей отвечает обобщенная однородная функция степени —п — т. Это обстоятельство мы будем иметь в виду в п. 5 зтого параграфа.
Для вычисления обобщенной функции fx при Re X < — п можно дать вместо формулы (8) более удобную и симметричную формулу. Для этого заметим, что при Re X < <—п — k интегралы вида
J>(*)*? ••• *lndx (ax+ ... +an=m<fe) (10)
r-q
сходятся. Граница области R— О есть та же поверхность Г (граница О) с противоположной ориентацией, и поэтому, преобразуя интеграл (10) в поверхностный, мы получим:
r-q Г
Заменяя, таким образом, в формуле (8) поверхностные интегралы по Г интегралами по области R— О и объединяя затем все интегралы в один, мы получим для регуляризо-ванного значения интеграла представление
f ? (х) dx = f /*(*)[?(*)—<р(0)— ...
¦¦•-i S *™.]dx. (11)
, dxa' дх n J
справедливое в полосе — n — k — 1 < Re X << — n — k.
Заметим, что если Ф (х)—произвольная обычная однородная функция степени X (не обязательно знакоположительная), имеющая особенность только в начале координат, и —п — k—l<ReX<—п — k, то формула (11) применима для регуляризации интеграла
J Ф (дг) ср (х) dx.
3]
§ 3. ОДНОРОДНЫЕ ФУНКЦИИ
377
Получаемый при этом функционал представляет собой однородную обобщенную функцию степени X. Таким образом, всякой формально однородной (обычной) функции Ф (х) степени X при X Ф—п — k отвечает по формуле (11) обобщенная однородная функция той же степени, являющаяся регуляризацией функции Ф (х). Так как однородную функцию любой степени, имеющую особенность только в начале координат, можно определить, задав произвольно ее значения на любой замкнутой поверхности Г, пересекающейся только в одной точке с каждым выходящим из начала координат лучом, мы можем сказать, что всякой непрерывной функции на замкнутой поверхности Г отвечает обобщенная однородная функция степени X при X Ф — п — k.
